利用者:Delmonta iijima/メモ「対数」

記事「対数」についての編集用メモ。

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「オリジナルの定義」による値は具体的にどんなものなのか、現在一般に使われている対数関数の値と比較する

ジョン・ネイピアの式

ネイピアによる対数の定義は次のようなものである：

正の実数 x に対して

$x=10^{7}\left(1-{\frac {1}{10^{7}}}\right)^{p}$

を満たす実数 p がただ一つ定まる。この p のことを ネイピアの対数（英: Napierian logarithm）という。この値は、−10⁷ ln (x/10⁷) と 7 桁の精度で一致する。

この両辺を 10⁷ で割り、両辺の自然対数を取ると、

ln (x/10⁷) = p ln ( 1 − 10⁻⁷)

p = ln (x/10⁷) / ln ( 1 − 10⁻⁷)

が得られる。ln 0.9999999 = −0.000000100000005 なので、p = −10⁷ ln (x/10⁷) が7桁の精度で成立する。

ヨスト・ビュルギの式

ビュルギもまた対数の発見者であるが、ビュルギが用いた定義はネイピアのものとはわずかに異なっている。ビュルギによる対数の定義は次のようなものである：

正の実数 x に対して

$x=10^{8}\left(1+{\frac {1}{10^{4}}}\right)^{p}$

を満たす実数 p がただ一つ定まる。この p のことをビュルギの対数という。この値は、10⁴ ln (x/10⁸) と4桁の精度で一致する。

両辺を 10⁸ で割り、両辺の自然対数を取ると、

ln (x/10⁸) = p ln (1 + 10⁻⁴)

が得られる。ln 1.0001 = 0.00009995 なので、p = 10⁴ ln (x/10⁸) が4桁の精度で成立する。

実はどちらの定義も、常用対数ではなく自然対数を算出している

どちらの式でも、自然対数を使うとテイラー展開による多項式近似

ln ( 1 + x ) ≈ x − x²/2 + ...（|x| < 1）

が使えるため、余計な係数がかからずに済んでいる。ここでもし常用対数を使ってしまうと、lg 0.9999999 = −4.34 × 10⁻⁸、lg 1.0001 = 4.34 × 10⁻⁵ というややこしい値が登場することになる。

で、何でこの計算で掛け算を足し算に置き換えられるの？

この時代にはまだ、実数の「無理数乗」という概念は存在していないことに注意する。分数乗ですら計算には膨大な手間を要する。したがって、ネイピアの定義でもビュルギの定義でも、与式中の変数 p には整数を1から順に代入して計算する。

たとえば、ビュルギの例によって計算してみよう。底 1.0001 からスタートして、そのべき乗を繰り返し求めていく。そうすると、次のような表が p =1、2、3… と順にびっしり続くことになる。

ビュルギの式に従って、 p を増やして地道に計算していくと…

p	1.0001p	x
10	1.0010	100,100,045
100	1.0100	101,004,966
250	1.0253	102,531,384
500	1.0513	105,126,847
750	1.0779	107,788,011
1000	1.1052	110,516,539
2000	1.2214	122,139,055
3000	1.3498	134,983,856
5000	1.6487	164,868,006
8000	2.2255	222,545,191
10000	2.7181	271,814,593
15000	4.4814	448,135,298
17500	5.7541	575,409,920
20000	7.3883	738,831,728
21000	8.1653	816,531,257
22000	9.0240	902,402,087
23000	9.9730	997,303,557
23026	9.9990	999,899,790
23037	10.0100	1,001,000,230

p が 23026 と 23027 の中間くらいにきた時に、1.0001^p がちょうど10になることに留意する。

これをふまえて、たとえば a = 123 456 789、b = 987 654 321 とおいて、この積 a b の計算を考える。

この表で 123 456 789に近い場所を探していくと、ちょうど p = 2107 が最も近い値となる。ゆえに、

a ≈ 1.0001²¹⁰⁷ × 10⁸

987 654 321も同様に探していくと、今度は p = 22903 が最も近くなる。ゆえに、

b ≈ 1.0001²²⁰⁹³ × 10⁸

この両者を掛けると、

a b = 1.0001^{2107 + 22093} × 10¹⁶

このように、真数の積（または商）の計算をを指数の和（または差）の計算に変換できるという性質は、現在我々が知っている対数関数の特長と全く変わりがない。

ここで 1.0001²³⁰³⁷ = 10 に留意すると

1.0001^{2107 + 22093} = 1.0001^{23037 + 1163} = 10 × 1.0001¹¹⁶³

最終的に、上記の表から p = 1163 に対応する x をさがすと、x = 112 332 629 である。

以上の計算より、

a b = (10 × 1.1233263) × 10¹⁶ = 1.1233263) × 10¹⁷

が得られる。

ちなみに、実際にdouble型で直接計算した値は 1.2193263 × 10¹⁷ である。上記の計算による誤差は −8.5％ となった。