「測地線」の版間の差分

[[微分幾何学]]において、'''測地線'''（そくちせん、{{lang-en-short|geodesic}}）とは、曲面上の曲線であって、その上の十分近い2つの離れた点が最短線で結ばれた曲線を言う。[[ユークリッド空間]]における[[直線]]の概念を、曲がった空間において一般化したものである。「測地線」という用語は、地球の大きさと形状を測定する学問である[[測地学]]に由来する。本来の意味では、測地線は地表の2点間の最短ルートであり、球体形状の地球の場合、[[大円]]の一部となる。測地線の中でその長さが最小のものは最短測地線という。

典型的な測地線は、測地学の対象でもある地球上の２点を結ぶ最短曲線である。[[地球]]を単純に[[球面]]であるとする。例えば、[[東京]]と[[ニューヨーク]]の間を最短距離で移動するためには、東京とニューヨークを通る[[大円]]に沿った移動を行えばよく、この大円の一部こそ、測地線と呼ばれるものになる<ref>しかしながら、一般に、大円をその上の2点で分けると[[円 (数学)#弦と弧|優弧]]と[[円 (数学)#弦と弧|劣弧]]に分かれる。東京からニューヨークへ大円に沿った移動をしても、東京からニューヨークに行くには大円の周り方によって遠い移動と近い移動とある。この場合、劣弧に沿って移動すれば最短距離、優弧に沿えば直線的な移動としては最も遠回りになるわけである。大円の一部である弧は測地線となるが、必ずしも2点間の最短距離を示す曲線とはならない。</ref>。

逆に2点間の最短距離を示す曲線は測地線となるので、2点を結ぶ測地線の中で最短のものが2点の最短距離を示すと考えてよい。その意味で、測地線というのは、2点間の最短距離を測るための曲線の候補の集まりであるともいえる。ちなみに、2点を北極と南極のような対極の位置に取れば、この2点を結ぶ最短測地線は無数にあることにも注意されたい。