「コーシーの積分定理」の版間の差分
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== 一般化 ==
閉曲線''C''に関する条件を以下のように弱めることができる。
* ホモトピー型のコーシーの定理
''D'' を[[領域 (解析学)|領域]]とし、''f''(''z'') は ''D'' 上で[[正則関数|正則]]である[[複素関数]]とするとき、''C'' を''D'' 内で [[回転数 (数学)#複素解析学|ホモローグ0]]な[[単体 (数学)|一次元サイクル]]であるとすると、▼
''D'' を[[領域 (解析学)|領域]]とし、''f''(''z'') は ''D'' 上で[[正則関数|正則]]である[[複素関数]]とする。''C'' を ''D'' 内の0に[[ホモトピー|ホモトピー同値]]な区分的に滑らかな[[閉曲線]]であるとすると、
: <math> \oint_C f(z) \, dz\ = 0 </math>
特に''D'' が[[単連結空間|単連結]]なら上の仮定が満たされることは明らかである。
特にCが''D'' 内のある有界領域の境界であって「互いに交わらない有限個の区分的に滑らかなJordan閉曲線からなる」とき、''C'' は''D'' 内で 0 にホモローグである<ref>{{小平邦彦『複素解析I』,1977,p=87}}</ref>{{efn2|このようなCで囲まれる有界領域が三角形分割可能であることが証明の要であるがこれの証明はアイディアは初等的ではあるものの厳密にやるとかなり面倒で、この本では20ページも費やしている。小平自身もここまで長くなるのは「予定外であった」としている}}。応用上はこれで済む場合が多い。▼
''C''を閉曲線から[[単体 (数学)|1サイクル]]、即ち有限個の閉曲線の形式和''C=C_1+...C_n''に一般化することも出来る。
* 1サイクルに対するコーシーの定理
▲''D'' を[[領域 (解析学)|領域]]とし、''f''(''z'') は ''D'' 上で[[正則関数|正則]]である[[複素関数]]とする
: <math> \oint_C f(z) \, dz\ = 0 </math>
ここで''D'' 内で0にホモローグ(homologous to 0)とは0にホモトピー同値な有限個の''D'' 内の閉曲線の形式和として書けることを言う<ref>{{小平邦彦『複素解析II』,1977,p=206}}</ref>。この概念を[[回転数 (数学)#複素解析学]]で定義することもあるので注意されたい<ref>{{杉浦光夫『解析入門II』,1985,p=291}}</ref>。
▲特に冒頭の条件である、Cが''D'' 内のある有界領域の境界であって
==脚注==
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