「ワイエルシュトラスの因数分解定理」の版間の差分
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基本因子、説明追加 |
無限積の収束、注意追加 |
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上記の方法を整函数へ拡張する方法を考える。一般の整函数の場合、数列 <math>\{c_n\}</math> が[[有限集合|有限]]でない場合が有り得る。つまり、零点が可算無限個存在する場合もあり得る(例えば、<math>sin\ z</math>)。もし、無限数列<math>\{c_n\}</math>が有界であれば、必ず[[集積点]]を持つ([[ボルツァーノ＝ワイエルシュトラスの定理]])ので、[[一致の定理]]により<math>\{c_n\}</math>を零点とする函数<math>f(z)</math>は、複素平面全体で恒等的に 0 である。
従って、函数<math>f(z)</math>が、<math>\{c_n\}</math>を零点とし、かつ複素平面全体で恒等的に 0 ではないためには、<math>\{c_n\}</math>は有界であってはならないことになる。この場合、<math>\{c_n\}</math>が有限集合の場合と同様に、函数<math>f(z) = \,\
発想を変えて、函数<math>f(z) = \,\
実は、単純にこの形では無限積の収束は保証できないが、各因子<math>(1- \tfrac{z}{c_n}\,)</math>にある係数(zの函数)を掛けてから無限積を取ると収束することを証明するのが、本定理「ワイエルシュトラスの因数分解定理」である。次に示す、ワイエルシュトラスの'''基本因子'''(elementary factors)<math>E_p(z)</math> を使えば、<math>(1- \tfrac{z}{c_n})</math>と係数を掛けた因子は<math>E_p(\tfrac{z}{c_n})</math>と表される。
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