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数学における'''フィルター''' (<em lang="en">filter</em>) とは[[半順序集合]]の特別な[[部分集合]]のことである。実際には半順序集合として、特定の集合の[[冪集合]]に包含関係で順序を入れたものが考察されることが多い。フィルターが初めてもちいられたのは一般[[位相幾何学]]の研究であったが、現在では[[順序論理]]や[[束 (数学)|束]]の理論でももちいられている。順序論的な意味でのフィルターの双対概念はイデアルである。
フィルターは[[1937年]]に[[アンリ・カルタン]]によって導入され、[[ブルバキ]]によって数学原論の「一般位相」で一般的な位相空間における[[収束]]の概念の定式化のためにもちいられた。類似の概念として[[1922年]]に[[エリアキム・H・ムーア]]とH.L.スミスによって導入された[[ネット (数学)|ネット]]の概念がある。
== 定義 ==
半順序集合 (''P'',
# ''F'' の任意の元 ''x'' と ''y'' について、''F'' の元 ''z'' が存在して ''z''
# ''F'' の任意の元 ''x'' について、''x''
# ''P'' 全体と一致しないようなフィルターは'''固有フィルター'''あるいは真のフィルターともよばれる。この条件はしばしばフィルターの定義の一つとして要請されている。以下この項目でも特に断らない限りフィルターの条件として固有性を仮定する。
上に上げた定義は任意の半順序集合上にフィルターを定義する上で最も一般的な形式であるが、初めフィルターは束に対してだけ定義されていた。束の場合には次の条件によってフィルターを特徴づけることができる：
束 (''P'',
''P'' 上のフィルター ''F'' と ''G''について、''F''
''P'' の元 ''p'' を含むような ''P'' 上のフィルターのうちで最も小さいものは'''単項フィルター'''と呼ばれ、また ''p'' はそのフィルターの生成元<!-- "principal element" in the original doc -->と呼ばれる。''p'' によって生成される単項フィルターは具体的には
<!-- The dual notion of a filter, i.e. the concept obtained by reversing all ≤ and exchanging ∧ with ∨, is '''ideal'''. Because of this duality, the discussion of filters usually boils down to the discussion of ideals. Hence, most additional information on this topic (including the definition of '''maximal filters''' and '''prime filters''') is to be found in the article on [[ideal (order theory)|ideals]].-->
== 冪集合の上のフィルター ==
フィルターの特別な例として[[冪集合]]上に定義されるフィルターが挙げられる。任意の集合 ''S'' に対し、その冪集合 '''P'''(''S'') 上に部分集合のあいだの包含関係によって半順序
# ''S'' は ''F'' に入っている
# 空集合は ''F'' に入っていない
# ''A'' と ''B'' が ''F'' に入っているならそれらの共通部分も ''F'' に入っている
# ''A'' が ''F'' の元、''B'' が ''S'' の部分集合でかつ ''A'' が ''B'' の部分集合になっていれば ''B'' も ''F'' に入っている
はじめの3つの条件からフィルターは有限交差性を持つ（フィルターの元の有限個の共通分は空にならない）ことがわかる。
次の性質を持つ '''P'''(''S'') の部分集合 ''B'' は'''フィルター基'''と呼ばれる:
# ''B'' に属する有限個の集合の共通部分は ''B'' のある集合を含む
# ''B'' は空でなく、空集合は ''B'' に入っていない
フィルター基 ''B'' が与えられたとき、を含む '''P'''(''S'') の元すべてを考えることでフィルターが得られる。
集合 ''X'' 上のフィルター ''F'' と写像
''S'' の各部分集合 ''T'' に対して、が生成する単項フィルターが考えられる。また、''S'' の任意の元 ''p'' について、 {
''F'' が ''S'' 上の超フィルターならば、''S'' の任意の部分集合 ''A'' について ''A'' ∈ ''F'' か ''A''<sup>''c''</sup> ∈ ''F'' のどちらかが成立している。
=== 例 ===
* 無限集合''S'' に対し、補集合が有限であるような''S'' の部分集合すべての集まりは ''S'' 上のフレシェフィルターと呼ばれる。
* 集合 ''X'' 上の一様空間の構造は ''X'' × ''X'' 上のフィルターのうちで特定の公理を満たすものによって与えられる。
* Rasiowa-Sikorskiの補題によって半順序集合上のフィルターが構成され、[[強制法]]でもちいられている。
=== モデル理論におけるフィルター ===
集合 ''S'' 上の任意のフィルター ''F'' に対し、以下のようにして集合関数が定義できる：
:<math>
m(A)=\
\,1 & \mbox{if }A\in F \\
\,0 & \mbox{if }S\setminus A\in F \\
\,\mbox{undefined} & \mbox{otherwise}
\end{
</math>
この関数は有限加法性を持ち、[[有限加法的測度|弱い意味での
:<math>
というかたちの言明が考えられる。フィルターへの帰属関係についてのこの解釈はモデル理論における超積の研究で（直ちに厳密な証明を与えるものではないが）指導原理としてもちいられている。
=== 超積 ===
'''N''' を自然数の集合、''F'' を '''N''' 上の単項フィルターでない超フィルターとする。任意の集合 ''S'' について ''S'' の元の列がなす集合 ''S''<sup>'''N'''</sup> の上で、「'''N''' の部分集合 {''n'' | ''x''<sub>''n''</sub> = ''y''<sub>''n''</sub>
こうして構成される超積は[[超準解析]]の最も簡単なモデルを与えている。''S'' が有理数の集合 '''Q''' のとき、数列
: (0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, ...)
が表す '''Q'''<sup>ω</sup> の元は、偶数集合と
=== 位相幾何学におけるフィルター ===
位相幾何学や解析学において、距離空間での点列の収束の類似として、一般的な収束の概念を定式化するためにフィルターがもちいられる。
位相空間 ''X'' の点 ''x'' があたえられたとき、 ''x'' の近傍すべてをとることで ''X'' 上のフィルター ''N''<
フィルターを用いることで位相空間論の諸結果は次のように定式化できる：
# ''X'' 上の任意のフィルターの[[極限]]が高々一つ（つまり、多くても一つの点にしか収束していない）のとき、およびそのときに限って ''X'' は[[ハウスドルフ空間]]になる。
# 位相空間のあいだの写像 ''f'' が点 ''x'' で[[連続 (数学)|連続]]になるのは、
# ''X'' が[[コンパクト空間|（準）コンパクト]]になるのは任意の超フィルターが収束しているとき、およびそのときに限る。
=== 一様空間におけるフィルター ===
''F'' を[[一様空間]] ''X'' の上のフィルターとするとき、''X'' のどんな近縁<!-- entourage --> ''U'' についても
:<math> \epsilon > 0 \ \ \exists A \in F \ \ \mathrm{diam}(A) < \epsilon </math> と定式化できる。任意のコーシーフィルターが収束しているとき ''X'' は[[完備]]だといわれる。 コーシーフィルター ''F'' について、より細かいフィルター ''G'' で
== 関連項目 ==
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*Bourbaki, N. (1971) "Topologie générale" Nouv. ed. Paris : Diffusion C.C.L.S.
[[Category:
[[de:Filter (Mathematik)]]
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