「超幾何関数」の版間の差分

== オイラー積分表示 ==

ガウスの超幾何関数は[[オイラー積分]]で表される<ref name="hara">原岡喜重. (2002). 超幾何関数. [[朝倉書店]].</ref><ref name="toki">時弘哲治. (2006). 工学における特殊関数. [[共立出版]].</ref>。

これは

&=\frac{\Gamma(c)}{\Gamma(a)\Gamma(c-a)}\cdot\frac{\Gamma(a)\Gamma(c-a)}{\Gamma(c)}\cdot\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(a)_n(b)_n}{(c)_n\;n!}z^n\\

&=\frac{\Gamma(c)}{\Gamma(a)\Gamma(c-a)}\sum_{n=0}^{\infty}\frac{\Gamma(a+n)\Gamma(c-a)(b)_n}{\Gamma(c+n)\;n!}z^n\\

== 超幾何定理 ==

ガウスの超幾何関数のオイラー積分表示に<math>z=1</math>を代入するとガウスの超幾何定理を得る<ref name="toki"/><ref>{{MathWorld|title=Gauss's Hypergeometric Theorem|urlname=GausssHypergeometricTheorem}}</ref>。

&=\frac{\Gamma(c)}{\Gamma(a)\Gamma(c-a)}\int_{0}^{\infty}t^{a-1}(1-t)^{c-a-b-1}dt\\

&=\frac{\Gamma(c)\Beta(a,c-a-b)}{\Gamma(a)\Gamma(c-a)}\\

\end{align}</math>

となる。更に<math>a=-n</math>を代入すると{{仮リンク|ヴァンデルモンドの恒等式|en|Vandermonde's identity}}を得る<ref>{{MathWorld|title=Chu-Vandermonde Identity|urlname=Chu-VandermondeIdentity}}</ref>。

 

== 超幾何微分方程式 ==