「ワイエルシュトラスの因数分解定理」の版間の差分
削除された内容 追加された内容
簡略版の証明 |
誤字など |
||
118行目:
次の定理は下記の'''ワイエルシュトラスの定理'''を簡略化したものであるが、任意に与えられた可算無限数列の全ての要素を零点として持つ整函数の存在を保証している。
'''定理'''(簡略版)： <math>\{a_n\}_{n \in \mathbb{N}}</math> を 0 を含まず、集積点を持たない複素数の無限数列
: <math>f(z) = \prod_{n=1}^\infty E_{n}(z/a_n)</math>
は点 <math>a_n</math> (<math>n \in \mathbb{N}</math>) にのみ零点を持つ整函数である。数 <math>z_0</math> が数列 <math>\{a_n\}</math> の中にちょうど ''m'' 回あれば、函数 ''f'' は <math>z=z_0</math> に多重度 ''m'' の零点を持つ。
'''証明'''： <math>f(z)</math>の対数を取ると次のようになる。
128行目:
無限和 <math>\sum_{n=1}^\infty \log E_{n}(z/a_n)</math> を <math> n \le N</math> である有限和 <math>\sum_{n=1}^N E_n(z) = \sum_{n=1}^N (\log (1-z/a_n) + h_n(z/a_n) )</math> と <math> n > N</math> である無限和 <math>\sum_{n=N+1}^\infty E_n(z/a_n) = \sum_{n=N+1}^\infty (\log (1-z/a_n) + h_n(z/a_n) )</math> に分けて考える。
有限和 <math>\sum_{n=1}^N (\log (1-z/a_n) + h_n(z/a_n) )</math> は <math> n \le N</math> である各零点 <math>a_n</math> で負の無限大になり、複素平面のそれ以外の点では有限確定値を取る。
一先ず <math>|z| < R </math> として、 無限和部分の絶対値を考え、前節で示したいくつかの式を援用すると次のようになる。
144行目:
次の定理は単に'''ワイエルシュトラスの定理''' {{en|(Weierstrass theorem)}} と呼ばれることがある<ref name="mw-wst">{{MathWorld | urlname=WeierstrasssTheorem | title=Weierstrass's Theorem}}</ref>。
'''定理'''： <math>\{a_n\}_{n \in \mathbb{N}}</math> を 0 を含まず、集積点を持たない複素数の無限数列
: <math> \sum_{n=1}^\infty \left( r/|a_n|\right)^{1+p_n} < \infty,</math>
であるとすると、函数
| |||