「ワイエルシュトラスの因数分解定理」の版間の差分
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ルーディンの補題証明 |
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:<math>E_n(z) = (1-z)\exp \left( h_n(z) \right)</math>
:<math>h_n(z) = \begin{cases} 0 & \text{if }n=0, \\ \frac{z^1}{1}+\frac{z^2}{2}+\cdots+\frac{z^n}{n}& \text{otherwise}. \end{cases}\ .</math>
次の補題が成り立つ<ref name="rudin"/>。▼
'''補題（15.8, ルーディン(Rudin)）'''： <math>|z| \le 1, n \in \mathbb{N}_0</math>▼
に対し、▼
:<math>\vert 1 - E_n(z) \vert \leq \vert z \vert^{n+1}.</math>▼
<!--==The elementary factors==▼
These are also referred to as ''primary factors''.<ref name="boas">{{citation|last=Boas|first=R. P.|title=Entire Functions|publisher=Academic Press Inc.|location=New York|year=1954|isbn=0-8218-4505-5|oclc=6487790}}, chapter 2.</ref>▼
For <math>n \in \mathbb{N}</math>, define the ''elementary factors'':<ref name="rudin">{{citation|last=Rudin|first=W.|title=Real and Complex Analysis|edition=3rd|publisher=McGraw Hill|location=Boston|pages=301–304|year=1987|isbn=0-07-054234-1|oclc=13093736}}.</ref>▼
:<math>E_n(z) = \begin{cases} (1 -z) & \text{if }n=0, \\ (1-z)\exp \left( \frac{z^1}{1}+\frac{z^2}{2}+\cdots+\frac{z^n}{n} \right) & \text{otherwise}. \end{cases} </math>▼
Their utility lies in the following lemma:<ref name="rudin"/>▼
'''Lemma (15.8, Rudin)''' for |''z''| ≤ 1, ''n'' ∈ '''N'''<sub>o</sub>▼
:<math>\vert 1 - E_n(z) \vert \leq \vert z \vert^{n+1}.</math>-->▼
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| pages = 101-105
}}</ref>。
▲'''補題（15.8, ルーディン(Rudin)）'''： <math>|z| \le 1, n \in \mathbb{N}_0</math>
▲に対し、
▲:<math>\vert 1 - E_n(z) \vert \leq \vert z \vert^{n+1}.</math>
'''証明'''： <math>n=0</math> の場合は自明なので、<math>n \ge 1</math> とする。
:<math>u_n(z) = 1 - E_n(z) = 1 -(1-z)\exp h_n(z)</math>
と置く。<math>u_n(z) </math> は整函数であり、<math>u_n(0) = 0</math>、<math>u_n(1) = 1</math> である。<math>u_n(z) </math> を微分すると次のようになる。
:<math>u'_n(z) = -E'_n(z) = \exp h_n(z) - (1-z)h'_n(z)\exp h_n(z) </math>
::<math> = \exp h_n(z) - (1-z)\frac{1-z~n}{1-z}\exp h_n(z) = z^n \exp h_n(z)</math>
<math>u_n(z) </math> は整函数であるから、0を中心としたテイラー展開は、
:<math>u_n(z) = z^{n+1} \sum_{k=0}^\infty a_k z^k</math>
と表される必要がある。さらに <math>u'_n(z)</math> の各 <math>z^k</math> の項と比較することにより、 <math>a_0 = \tfrac{1}{n+1}</math>、各 <math>a_k</math> は非負の実数である必要がある。
:<math>v_n(z) = \frac{u_n(z)}{z^{n+1}} = \sum_{k=0}^\infty a_k z^k </math>
と置けば、<math>v_n(z) </math> も整函数であり、<math>v_n(0) = \tfrac{1}{n+1}</math>、<math>v_n(1) = 1</math> である。<math>|z| \le 1</math> であれば、
:<math>|v_n(z)| \le v_n(|z|) = \frac{u_n(|z|)}{|z|^{n+1}} \le v_n(1) = 1</math>
である。従って <math>|1-E_n(z)| = |u_n(z)| \le u_n(|z|) \le |z|^{n+1}</math> となる。
▲<!--==The elementary factors==
▲These are also referred to as ''primary factors''.<ref name="boas">{{citation|last=Boas|first=R. P.|title=Entire Functions|publisher=Academic Press Inc.|location=New York|year=1954|isbn=0-8218-4505-5|oclc=6487790}}, chapter 2.</ref>
▲For <math>n \in \mathbb{N}</math>, define the ''elementary factors'':<ref name="rudin">{{citation|last=Rudin|first=W.|title=Real and Complex Analysis|edition=3rd|publisher=McGraw Hill|location=Boston|pages=301–304|year=1987|isbn=0-07-054234-1|oclc=13093736}}.</ref>
▲:<math>E_n(z) = \begin{cases} (1 -z) & \text{if }n=0, \\ (1-z)\exp \left( \frac{z^1}{1}+\frac{z^2}{2}+\cdots+\frac{z^n}{n} \right) & \text{otherwise}. \end{cases} </math>
▲Their utility lies in the following lemma:<ref name="rudin"/>
▲'''Lemma (15.8, Rudin)''' for |''z''| ≤ 1, ''n'' ∈ '''N'''<sub>o</sub>
▲:<math>\vert 1 - E_n(z) \vert \leq \vert z \vert^{n+1}.</math>-->
==定理のいくつかの形==
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