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「コーシーの積分定理」の版間の差分

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6行目:
''D'' を[[領域 (解析学)|領域]]とし、''f''(''z'') は ''D'' 上で[[正則関数|正則]]である[[複素関数]]とする。Cが''D'' 内のある有界領域の境界であって、互いに交わらない有限個の区分的に滑らかなJordan閉曲線からなるとき
 
: <math> \oint_C f(z) \, dz\mathrm{d}z\ = 0 </math><ref>{{cite|和書|author=小平邦彦|title=複素解析I|year=1977|page=87}}</ref>{{Efn2|このようなCで囲まれる有界領域が三角形分割可能であることが証明の要であるがこれの証明はアイディアは初等的ではあるものの厳密にやるとかなり面倒で、この本では20ページも費やしている。小平自身もここまで長くなるのは「予定外であった」としている。}}
 
つまり、ある領域を囲む閉曲線で関数 ''f''(''z'') を積分するとき、その領域内で ''f''(''z'') が常に正則であれば、その積分の値は必ず 0 となることを主張している。
 
また、領域内に <math>\ dF\mathrm{d}F/dz\mathrm{d}z = f </math> となるような正則関数 <math>\ F </math> が存在する場合、始点と終点を定めれば積分路によらず
 
: <math> \int_{a}^{b} f(z) \, dz\mathrm{d}z\ = F(b) - F(a)</math>
 
となる。このとき閉曲線、つまり始点と終点が一致する場合に値が 0 になることは明らかである。すなわちコーシーの積分定理は、単連結な領域上の正則関数には、このような <math>\ F </math> が常に存在することを意味している。
20行目:
証明は複素積分の定義から導くことができる。
:<math>\begin{align}
\oint_C f(z)dz\mathrm{d}z
&= \oint_C [u(x,y)+iv(x,y)] (dx\mathrm{d}x+idyi\mathrm{d}y) \\
&= \oint_C (udxu\mathrm{d}x-vdyv\mathrm{d}y) + i \oint_C (udyu\mathrm{d}y+vdxv\mathrm{d}x) \\
&= -\iint_D \biggl (\frac{\partial v}{\partial x}+\frac{\partial u}{\partial y} \biggr ) dxdy\mathrm{d}x\mathrm{d}y
+ i \iint_D \biggl (\frac{\partial u}{\partial x}-\frac{\partial v}{\partial y} \biggr ) dxdy\mathrm{d}x\mathrm{d}y
\end{align}
</math>
38行目:
''D'' を[[領域 (解析学)|領域]]とし、''f''(''z'') は ''D'' 上で[[正則関数|正則]]である[[複素関数]]とする。''D'' 内の区分的に滑らかな1サイクル''C'' が''D'' 内で 0にホモローグであるとき、
 
: <math> \oint_C f(z) \, dz\mathrm{d}z\ = 0 </math>
 
ここで''D'' 内で0にホモローグ(homologous to 0)とは0にホモトピー同値な有限個の''D'' 内の閉曲線の形式和として書けることを言う<ref>{{cite|和書|author=小平邦彦|title=複素解析II|year=1977|page=206}}</ref>。
52行目:
''D'' を[[領域 (解析学)|領域]]とし、''f''(''z'') は ''D'' 上で[[正則関数|正則]]である[[複素関数]]とする。''D'' 内の区分的に滑らかな[[閉曲線]]''C''が''D'' 内で[[可縮空間|可縮]]（0に[[ホモトピー|ホモトピー同値]]）であるとき、
 
: <math> \oint_C f(z) \, dz\mathrm{d}z\ = 0 </math>
 
特に''D'' が[[単連結空間|単連結]]なら任意の区分的に滑らかな[[閉曲線]]''C''に対して上の仮定が満たされることは明らかである。
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