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11行目: を満たす[[関数 (数学)\|関数]] {{math2\|{{norm\|•}}: ''V'' → '''R'''; '''''x''''' ↦ {{norm\|'''''x'''''}}}} を {{mvar\|V}} の'''ノルム'''と呼ぶ。ベクトル空間 {{mvar\|V}} と {{mvar\|V}} 上のノルム {{math\|{{norm\|•}}}} との組 {{math2\|(''V'', {{norm\|•}})}} を、ノルム {{math\|{{norm\|•}}}} を備えたベクトル空間あるいは簡単にノルム付きの線型空間、'''[[ノルム線型空間\|ノルム空間]]'''などと呼び、紛れのおそれの無い場合はノルムを省略して単に {{mvar\|V}} で表す。なお、{{math2\|{{norm\|'''''v'''''}} ≥ 0}}（正定値性）を定義の内に含めることが多いが、この性質は以下のように定理として導くことができる。左から順に、独立性、劣加法性、斉次性を用いている。 <blockquote> <math>~~{}^{~~\forall} v \in V, 0 = \lVert o \rVert = \left\Vert \left( \frac{1}{2} -\frac{1}{2} \right)v \right\Vert \leq \left \Vert \frac{1}{2}v \right \Vert + \left \Vert -\frac{1}{2}v \right \Vert = \left \vert \frac{1}{2} \right \vert \lVert v \rVert + \left \vert -\frac{1}{2} \right \vert \lVert v \rVert = \lVert v \rVert.</math> </blockquote> : ノルムのとる値の集合としては {{mathbf\|R}} を、同様の条件を議論しうるもう少し一般の[[順序体]]や[[順序群]]に取り替えることもある。離散賦値などは有理整数環 {{mathbf\|Z}} の加法群（に同型なアーベル群）を値群とするようなノルムである。 23行目: :<math>\\| \boldsymbol{x} \\|_2 := \sqrt{\|x_1\|^2 + \cdots + \|x_n\|^2}</math> ; 最大値ノルム（あるいは無限大ノルム、一様ノルムとも呼ばれる） :<math>\\| \boldsymbol{x} \\|_\infty := \max \left\{ \|x_1\|, \~~cdots~~dots ,\|x_n\| \right\}</math> などはノルムの条件を満たす。一般に {{math2\|1 ≤ ''p'' < ∞}} に対して

「ノルム」の版間の差分