「ほとんど自由な電子」の版間の差分
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'''ほとんど自由な電子'''(Nearly free electron)：非常に弱い周期的な[[ポテンシャル]]による束縛を受けている[[電子]]のこと。
<
周期的なポテンシャルをU=U(<
<math> E(\vec{k}) = { \hbar^2 k^2 \over {2m} } + <\vec{k}|U|\vec{k}> + \sum_{\vec{q}} { {<\vec{k} + \vec{q}|U|\vec{k}><\vec{k}|U|\vec{k} + \vec{q}> } \over { ( { {\hbar^2} \over {2m} } (k^2 - |\vec{k}+\vec{q}|^2 ) } } </math>
となる。上式右辺第一項は、[[自由電子]]の固有値、第二項は一次の摂動エネルギー、第三項が二次の摂動エネルギーである。ここで|<
<math> |\vec{k}> = {1 \over {{V}^{1/2}} } e^{i \vec{k} \vec{r} } \qquad <\vec{k}| = {1 \over {{V}^{1/2}} } e^{-i \vec{k} \vec{r} } </math>
15 ⟶ 14行目:
<math> <\vec{k}|U|\vec{k}> = {1 \over V} \int e^{-i \vec{k} \vec{r}} U(\vec{r}) e ^{i \vec{k} \vec{r}} d \vec{r} = u(\vec{q} = 0) = u(0) </math>
であり、二次摂動エネルギーの項の<<
<math> <\vec{k} + \vec{q}|U|\vec{k}><\vec{k}|U|\vec{k}+\vec{q}> = |u(\vec{K}_n)|^2 </math>
である（ポテンシャルの周期性から、<
<math> E(\vec{k}) = { \hbar^2 k^2 \over {2m} } + u(0) + \sum_{\vec{K}_n \neq 0} { |u(\vec{K}_n)|^2 \over { E^{(0)}(\vec{k}) - E^{(0)}(\vec{k} + \vec{K}_n) } } </math>
E<
<
上式の右辺第三項の分母部分がゼロになる場合、
つまりE<
縮退が起こるのは、k<
<math> (E(\vec{k}) - E_1(\vec{k})c(0) - u(\vec{K}_n)c(-\vec{K}_n) = 0 </math>
48 ⟶ 47行目:
解２： <math> E(\vec{k}) = E_1 - u(\vec{K}_n) </math>
を得る。これは、|<
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