有理依存性

数学においてある実数の集まりが有理独立（ゆうりどくりつ、英: rationally independent）であるとは、それらの有理係数による線型結合で表すことの出来る数が、その集まりの中に含まれないことを言う。有理独立でない数の集まりのことを有理依存（ゆうりいぞん、英: rationally dependent）と言う。例えば、次の例が挙げられる：

${\begin{matrix}{\mbox{independent}}\qquad \\\underbrace {\overbrace {3,\quad {\sqrt {8}}\quad } ,1+{\sqrt {2}}} \\{\mbox{dependent}}\\\end{matrix}}$

正式な定義

実数 ω₁, ω₂, ... , ω_n が有理依存であるとは、少なくとも一つはゼロではない整数 k₁, k₂, ... , k_n で、次を満たすものが存在することを言う：

$k_{1}\omega _{1}+k_{2}\omega _{2}+\cdots +k_{n}\omega _{n}=0.$

このような整数が存在しないなら、そのベクトルは有理独立と呼ばれる。この条件は次の様に表現し直すことが出来る：ω₁, ω₂, ... , ω_n が有理独立であるとは、次の式

$k_{1}\omega _{1}+k_{2}\omega _{2}+\cdots +k_{n}\omega _{n}=0$

を満たす n-組の整数 k₁, k₂, ... , k_n は自明解、すなわちすべての k_i がゼロとなるもののみであることを言う。

実数は有理数についてのベクトル空間を構成するため、これは通常のベクトル空間における線型独立の概念と同値である。

関連項目

• トーラス上の線型フロー

参考文献

• Anatole Katok and Boris Hasselblatt (1996). Introduction to the modern theory of dynamical systems. Cambridge. ISBN 0-521-57557-5