随伴表現

リー群のリー環上への随伴表現（ずいはんひょうげん、英: adjoint representation）とは、リー群の元をリー環のある種の線型変換として表したものをいう。

定義

$G$ をリー群、${\mathfrak {g}}$ をそれに付随するリー代数（ $G$ の単位元における接空間）とする。

$g\in G$ として $h\in G$ に対して $\phi _{g}:G\to G,\,\phi _{g}:h\mapsto ghg^{-1}$ を $G$ の内部自己同型写像といい、さらに微分 $d(\phi _{g})_{e}=:Ad_{g}:{\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {g}}$ によって付随するリー代数の同型写像が得られる。

$Ad_{g}$ は ${\mathfrak {g}}$ の線型写像になっていて、準同型

$Ad:G\to GL({\mathfrak {g}}),\quad g\mapsto Ad_{g}$

をリー群の随伴表現という。

リー代数の随伴表現

詳細は「リー代数の随伴表現」を参照

リー群の随伴表現の微分を $ad$ で表し、これをリー代数の随伴表現という。

関連項目

• リー代数
• AD（曖昧さ回避）