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稠密関係

稠密順序関係から転送)

数学における稠密関係(ちゅうみつかんけい、: dense relation)とは、集合 X 上の二項関係 R であって、XR-関係にある任意の二元 x, y に対し、X の元 zx とも y とも R-関係にあるようなものが存在するものをいう。

記号で書けば、

となる。

任意の反射関係は稠密である。

例えば、二項関係として狭義の半順序 < はそれが関係として稠密であるとき、稠密順序(dense order)であるという。すなわち、集合 X 上の半順序 ≤ が(あるいは順序集合 (X, ≤) が)稠密であるとは、X の任意の二元 x, yx < y を満たすものに対し、X の元 zx < z < y を満たすものが必ず存在することを言う。

有理数の全体に通常の大小関係による順序を入れたものは、この意味で稠密である(実数全体のなす順序集合も同様)。他方、整数全体の成す集合に通常の順序を入れたものは稠密でない。

関連項目編集

参考文献編集