算術級数の素数定理 （さんじゅつきゅうすうのそすうていり）は、初項 a と公差 d が互いに素 である等差数列 に含まれる素数で、x 以下のものの数を
π
d
,
a
(
x
)
{\displaystyle \pi _{d,a}(x)}
π
d
,
a
(
x
)
∼
1
φ
(
d
)
L
i
(
x
)
{\displaystyle \pi _{d,a}(x)\sim {\frac {1}{\varphi (d)}}\mathrm {Li} (x)}
となるという定理 である。
gcd
(
a
,
d
)
=
1
{\displaystyle \gcd(a,d)=1}
a , d に対し、
d
n
+
a
{\displaystyle dn+a}
自然数 )と書ける素数が無限に存在することは古くから予想されていた。
エウクレイデス （ユークリッド）は素数が無限に多く存在することの証明を変形し、 4n +3 の形の素数が無限に多く存在する事を証明した。レオンハルト・オイラー はフェルマー数 F k F k n 2k +1k に対し、n 2k アドリアン＝マリ・ルジャンドル は一般の円分多項式の値の性質から、
d
n
+
1
{\displaystyle dn+1}
1837年 にペーター・グスタフ・ディリクレ がL関数
L
(
s
,
χ
)
{\displaystyle L(s,\chi )}
L
(
1
,
χ
)
≠
0
{\displaystyle L(1,\chi )\neq 0}
gcd
(
a
,
d
)
=
1
{\displaystyle \gcd(a,d)=1}
a , d に対し、
d
n
+
a
{\displaystyle dn+a}
x 以下の該当する素数の逆数の和は
∼
(
log
log
x
)
/
φ
(
d
)
{\displaystyle \sim (\log \log x)/\varphi (d)}
算術級数の素数定理
π
d
,
a
(
x
)
∼
1
φ
(
d
)
L
i
(
x
)
{\displaystyle \pi _{d,a}(x)\sim {\frac {1}{\varphi (d)}}\mathrm {Li} (x)}
はシャルル＝ジャン・ド・ラ・ヴァレー・プーサン （フランス語版 ） L関数 に用い、 t が0でない実数で、
a
<
c
/
log
t
{\displaystyle a<c/\log t}
L
(
1
−
a
+
i
t
,
χ
)
≠
0
{\displaystyle L(1-a+it,\chi )\neq 0}
c が存在することを示すことによってこの定理をより強い形
π
d
,
a
(
x
)
=
1
φ
(
d
)
L
i
(
x
)
+
O
(
x
exp
(
−
c
1
log
x
)
)
{\displaystyle \pi _{d,a}(x)={\frac {1}{\varphi (d)}}\mathrm {Li} (x)+O(x\exp(-c_{1}{\sqrt {\log x}}))}
（ここで c 1 は d に依存する正の定数）で証明した。
算術級数の素数定理が証明された後、
π
d
,
a
(
x
)
{\displaystyle \pi _{d,a}(x)}
イヴァン・ヴィノグラードフ （英語版 ） 指数和 の評価を用いて誤差項を
O
(
x
exp
(
−
c
1
(
log
x
)
3
/
5
(
log
log
x
)
−
1
/
5
)
)
{\displaystyle O(x\exp(-c_{1}(\log x)^{3/5}(\log \log x)^{-1/5}))}
一方、ゴールドバッハ予想 などの数論上の問題の研究の過程で、d に対する依存の評価がより重要であると考えられるようになった。このときに問題となるのは
L
(
s
,
χ
)
{\displaystyle L(s,\chi )}
s
>
1
−
c
/
log
t
{\displaystyle s>1-c/\log t}
s に対して
L
(
s
,
χ
)
=
0
{\displaystyle L(s,\chi )=0}
ディリクレの類数公式 から、任意の正の ε に対して
(
L
(
1
,
χ
)
)
−
1
=
O
(
d
1
/
2
+
ϵ
)
{\displaystyle (L(1,\chi ))^{-1}=O(d^{1/2+\epsilon })}
L
(
s
,
χ
)
{\displaystyle L(s,\chi )}
s は
s
<
1
−
c
/
t
1
/
2
+
ϵ
{\displaystyle s<1-c/t^{1/2+\epsilon }}
c は計算可能な正の定数である。
カール・ジーゲル は二次体 の類数 についての研究結果から任意の正の ε に対して
(
L
(
1
,
χ
)
)
−
1
=
O
(
d
ϵ
)
{\displaystyle (L(1,\chi ))^{-1}=O(d^{\epsilon })}
s
<
1
−
c
/
t
ϵ
{\displaystyle s<1-c/t^{\epsilon }}
c は計算可能ではない。これは後にセオドア・エスターマン （英語版 ） 複素函数論 の基礎的な定理のみを用いて証明された。この結果から、任意の正の ε に対して、
x
>
exp
k
ϵ
{\displaystyle x>\exp k^{\epsilon }}
π
d
,
a
(
x
)
=
1
φ
(
d
)
L
i
(
x
)
+
O
(
x
exp
(
−
c
1
log
x
)
)
{\displaystyle \pi _{d,a}(x)={\frac {1}{\varphi (d)}}\mathrm {Li} (x)+O(x\exp(-c_{1}{\sqrt {\log x}}))}
（ここで c 1 は ε にのみ依存する正の定数）
が成り立つ事が示される。
K. Prachar, Primzahlverteilung , Springer-Verlag, 1955, 1978.
H. Iwaniec and E. Kowalski, Analytic Number Theory , American Mathematical Society, 2004. 
