この項目では、群論について説明しています。その他の「積の法則」については「積の法則 」をご覧ください。
数学 の群論 における積の法則 (せきのほうそく、英 : product formula , 仏 : formule du produit [注 1] ; 積の公式)は、任意に与えられた二つの部分群およびそれらから作られる積 (英語版 ) および交叉という四つの集合[注 2] の位数 (集合の濃度 )の関係を記述するものである。
第二同型定理 SN/N ≅ S /(S ∩ N ) を表す平行四辺形図式: S が部分群、N が正規部分群 ならば、積 SK と交叉 S ∩ N はともに部分群となり、準同型定理 から所期の同型が導かれる(位数についてみれば、積の法則の成立がわかる)。[注 3]
定理の主張
編集
H, K は群 G の部分群とし、部分群の積 (英語版 ) HK は hk (h ∈ H , k ∈ K ) の形の G の元全体の成す集合を表す。また H , K , H ∩ K の位数 をそれぞれ |H |, |K |, |H ∩ K | とするとき、これらと HK の位数 HK との間に、積の法則 と呼ばれる関係式
|
H
K
|
⋅
|
H
∩
K
|
=
|
H
|
⋅
|
K
|
(
⟺
|
H
K
|
/
|
K
|
=
|
H
|
/
|
H
∩
K
|
)
{\displaystyle {\mathopen {|}}HK{\mathclose {|}}\cdot {\mathopen {|}}H\cap K{\mathclose {|}}={\mathopen {|}}H{\mathclose {|}}\cdot {\mathopen {|}}K{\mathclose {|}}\qquad (\iff {\mathopen {|}}HK{\mathclose {|}}/{\mathopen {|}}K{\mathclose {|}}={\mathopen {|}}H{\mathclose {|}}/{\mathopen {|}}H\cap K{\mathclose {|}})}
が成り立つ。
初等的な数え上げ問題として、羊飼いの補題 (lemme des bergers ) に基づく証明を以下のように与えることができる:
写像
f
:
H
×
K
→
H
K
;
(
h
,
k
)
↦
h
k
{\displaystyle f\colon H\times K\to HK;\;(h,k)\mapsto hk}
を考える。
y を
HK の元とすれば、
y は適当な
h ∈ H , k ∈ K を用いて
y = hk の形をしている。
f (h′ , k′ ) = y を満たす
(h′ , k′ ) ∈ H × K の全体からなる集合の位数を計算しよう。まず、そのような
(h′ , k′ ) ∈ H × K は
h′k′ = hk (
= y ) を満たすから、変形して
h −1 h′ = kk′ −1 となることに注意する。したがって適当な
i ∈ H ∩ K が存在して(なんとなれば
i = h −1 h′ と書けば)
h′ = hi かつ
k′ = i −1 k となる。これにより、
f (h′ , k′ ) = y を満たす
(h′ , k′ ) ∈ H × K が
(hi , i −1 k ) (i ∈ H ∩ K ) の形に書ける
H × K の元にほかならないことは容易に確かめられ、そのような元全体の成す集合の位数が
|H ∩ K | であることが分かる。
H × K の G への作用を、各対 (h ,k ) は h を左から、k -1 を右から掛けるものとして定めれば、この作用に関する単位元の軌道 に対する
軌道–固定群の関係式 あるいはバーンサイドの補題 の応用として所期の積の法則を得ることもできる。
任意の g ∈ G に対し、その属する両側剰余類 (英語版 ) を HgK と書く(これはすなわち、hgk (h ∈ H , k ∈ K ) の形の元全体の成す集合である)とき、関係式
|
H
∩
(
g
K
g
−
1
)
|
⋅
|
H
g
K
|
=
|
H
|
⋅
|
K
|
=
|
H
g
K
|
⋅
|
(
g
−
1
H
g
)
∩
K
|
{\displaystyle {\mathopen {|}}H\cap (gKg^{-1}){\mathclose {|}}\cdot {\mathopen {|}}HgK{\mathclose {|}}={\mathopen {|}}H{\mathclose {|}}\cdot {\mathopen {|}}K{\mathclose {|}}={\mathopen {|}}HgK{\mathclose {|}}\cdot {\mathopen {|}}(g^{-1}Hg)\cap K{\mathclose {|}}}
が成立する[注 4] 。無限群の場合は、部分群の指数 を用いて、より強い形の
[
H
:
H
∩
(
g
K
g
−
1
)
]
⋅
|
K
|
=
|
H
g
K
|
=
|
H
|
⋅
[
K
:
(
g
−
1
H
g
)
∩
K
]
{\displaystyle [H:H\cap (gKg^{-1})]\cdot {\mathopen {|}}K{\mathclose {|}}={\mathopen {|}}HgK{\mathclose {|}}={\mathopen {|}}H{\mathclose {|}}\cdot [K:(g^{-1}Hg)\cap K]}
が成り立つ[注 5] 。
^ 代数的整数論における formule du produit は特に積公式 と呼ばれるので混同の虞は無いと思われる。
^ これらの中で、積(元ごと に積をとって得られる集合)だけが必ずしも部分群をなさない(いずれか一方の部分群が正規部分群 ならば群になる)。他は常に部分群である。
^ 積の法則は。一般にこの N の正規性を落としてもよいことを含意するが、正規性が無い場合部分群の積は部分群にならず、したがって準同型定理(あるいは同型定理)の適用はできないので、証明はもう少し丁寧に見る必要がある。
^ この第二の式は特に H, K が有限群であるという仮定の下で述べている。これは (Isaacs 2008 , p. 6 ) に練習問題として出ている。またこれら両側剰余類は、H × K の G への右作用(これは上で述べた両側作用にほかならない)の軌道と同じ働きを表している。
^ この式の第一の等号は、写像
H
/
(
H
∩
(
g
K
g
−
1
)
)
→
{
h
g
K
∣
h
∈
H
}
;
x
=
h
(
H
∩
(
g
K
g
−
1
)
)
↦
x
g
K
=
h
g
K
{\displaystyle H/{\mathopen {(}}H\cap (gKg^{-1}){\mathclose {)}}\to \{hgK\mid h\in H\};\;x=h{\mathopen {(}}H\cap (gKg^{-1}){\mathclose {)}}\mapsto xgK=hgK}
が全単射 であることにより、HgK が K に等濃 な成分 [H : H ∩ gKg –1 ] 個に分割 されることから言える。第二の等号も同様にしてできるが、対称性により第一の等号に帰着してもよい。
参考文献
編集
Rotman, J. J. (1995), An Introduction to the Theory of Groups (4 ed.), Springer, ISBN 9780387942858
Isaacs, I. Martin (2008), Finite group theory , AMS Bookstore, ISBN 9780821843444