重根 (多項式)

1より大きな重複度を持つ多項式の根

重根(じゅうこん、: multiple root)とは、1変数多項式 のうち重複度が2以上のもののことをいう。

概要編集

1 変数多項式   が、定数  ,  ,  , …,  を用いて

 

の形に因数分解され、 ,  , …,   の中に 2 つ以上同じ値がある場合、その値を   の重根という。

方程式   の解は一般に

 

つまり xy-座標系において  x 軸との交点の x 座標である。  が1変数多項式のとき、  x 軸に接するなら、   の重根となる。

したがって    における微分も 0 となり、    の重根であることと

 

であることは同値である。

定義編集

K 上の多項式  K の元  に対し、  が成立するとき、すなわち 2 以上の自然数   と多項式  

 

を満たすものが存在するとき、  重根という。特に    を根に持たないならば、  を根  重複度(ちょうふくど、multiplicity)という。

判別式編集

多項式   の根を  ,  , …,   とし、その全体から作られる最簡交代式(差積)の平方

 

を多項式   あるいは方程式  判別式(はんべつしき、discriminant)という。

これは「代数方程式が重根を持つかどうか」 を判別するための式である。すなわち、判別式が   であることとその代数方程式が重根を持つこととが同値となる。このことは判別式を差積に取り替えても変わらない。にもかかわらず差積の平方を判別式とするのは、それが方程式の係数によって必ず記述できるからである。

これは、

  1. 差積の平方が根に関する対称式となること
  2. 対称式が基本対称式で表すことができること
  3. 根の基本対称式が方程式の係数によって記述されること(根と係数の関係

によって保証される。

たとえば、二次方程式   ) の根を  ,   とすると、根と係数の関係により

 
 

が成り立ち、判別式すなわち差積の二乗は

 

となる。 より  であるので、実用上は分母を掃った   を判別式として用いることが多い。

関連項目編集