数学において、級数 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + ··· は、絶対収束する幾何級数の初歩的な例である。
最初から6項の和を正方形の分割図として描いたもの
実数直線上の等比数列1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + ···
その和は以下のようになる。
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{8}}+{\frac {1}{16}}+\cdots &=\sum _{n=1}^{\infty }\left({\frac {1}{2}}\right)^{n}\\&={\frac {\dfrac {1}{2}}{1-{\dfrac {1}{2}}}}\\&=1\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c51de95bc3f9103020ea5cf9dfbf8efa707e5357)
また、2進数では
- 0.111111…
のように、"0." の後に 1 を無数に並べて表すこともできる。
他の級数と同様、無限和
-
は、最初の n 項の和
-
の、n が無限に大きくなるときの極限として定義される。
sn (上式の両辺)に 2 を乗じることにより、有用な関係性がわかる。
-
両辺から sn を減じると次のような式になる。
-
よって、 より、