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q-類似(きゅうるいじ、: q-analog, q-analogue)とは、理論に q → 1 の極限で、元の理論に一致するように径数 q を導入するような拡張のことをいう。q-拡張(: q-extension)などとも呼ばれる。

概要編集

q-数編集

最も基本的な q-数 [n]q とは、自然数 nq-類似であって、q → 1 の極限で [n]qn となるように

 

と定義される。ただし、文献によっては、とくに量子群の文脈では、  で不変な

 

あるいは

 

と定義される。この記事では最初の定義を用いるが、他の定義でも後述の q-階乗やq-二項係数は q-数を用いて同様に定義される。

q-階乗編集

またq-階乗 [n]q! は、q-数によって

 

と定義される。ただし (q; q)nq-ポッホハマー記号を表す。

このとき Snn 次の対称群inv(σ)置換 σ転倒数として、

 

が成り立つ[1]。これは   の極限で、通常の階乗    個のものを並べる順列の総数を表すことに対応している。 また有限体 Fq 上の一般線型群 GL(n, q)位数

 

と表せる。

q-二項係数編集

q-二項係数は、二項係数q-類似で、

 

によって定義される[1]q素数のべきのとき、q-二項係数は有限体 Fq 上の n 次元線型空間内における k 次元部分空間の数に等しい[1]

より一般に q-多項係数は n = k1 + … + km のとき

 

によって定義される[1]。 このとき

 
 

のようなよく知られた等式の類似が成り立つ[1]

q-微分編集

q-微分は微分q-類似で、任意の関数 ƒ(x) について q-微分を

 

によって定義する。さらに導関数q-類似である q-導関数は

 

によって定義される[2]

脚注編集

  1. ^ a b c d e Stanley 2012, § 1.7.
  2. ^ FUNCTIONS q-ORTHOGONAL WITH RESPECT TO THEIR OWN ZEROS, LUIS DANIEL ABREU, Pre-Publicacoes do Departamento de Matematica Universidade de Coimbra, Preprint Number 04–32

参考文献編集

  • Stanley, R. P. (2012). Enumerative Combinatorics. Cambridge Studies in Advanced Mathematics. I (Second ed.). Cambridge University Press. ISBN 978-1-107-01542-5. https://books.google.co.jp/books?id=-A3sbo0ZUKcC&lpg=PP1&hl=ja&pg=PA54#v=onepage&q&f=false. 

関連項目編集