10の平方根

10の平方根（じゅうのへいほうこん）は、平方して 10 になる実数である。正のものと負のものの2つがある。正の平方根は

{\sqrt {10}}

と書き、「ルート10」と読む。また、負の平方根は

-{\sqrt {10}}

である。以下、正の平方根について記述する。

${\sqrt {10}}$ は無理数であり、小数表示は

3.16227 76601 68379 33199 88935 44432 71853 37195…

である^[1]（オンライン整数列大辞典の数列 A010467）。無理数であることが知られているので、この数字の並びは循環しない。

語呂合わせでは「人丸（ひとまる）は三色（みいろ）に並ぶ」などがある。最初の「人丸」は「10」の語呂合わせであり、実際の値の語呂合わせは「三色」以下である。

概説

${\sqrt {10}}$ は代数的整数である。 ${\sqrt {10}}$ の有理数体 $\mathbb {Q}$ 上の既約多項式は $x^{2}-10$ である。
${\sqrt {10}}$ の連分数表示は

{\sqrt {10}}=3+{\cfrac {1}{6+{\cfrac {1}{6+{\cfrac {1}{6+{\cfrac {1}{6+{\cfrac {1}{6+{\cfrac {1}{6+{\cfrac {1}{\ddots }}}}}}}}}}}}}}

となる。