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イロレーティング

この記事の項目名には以下のような表記揺れがあります。
  • イロレイティング

イロレーティング (Elo rating) とは、二人ゼロ和の競技(2人のプレイヤーまたは2つのチームが対戦するもの)において、相対評価で実力を表すために使われる指標の一つ。レーティング(レート)の一種。

イロレーティングは、特にボードゲームで頻繁に使われる。チェスでは国際チェス連盟の公式記録に採用されており、将棋では、将棋倶楽部24などのオンライン対局場で、簡素化されたイロレーティングが採用されている。また、サッカーなどの2チームが対戦する形式のスポーツでも、一部の団体がイロレーティングを採用している。この他、対戦型オンラインゲームのランキングやマッチングにもイロレーティングが応用されていることがある。

なお、「イロ」とは、考案者であるアルパド・イロ英語版ハンガリー生まれのアメリカ人物理学者)に由来する。

目次

概要編集

例えば100m走のような絶対値を競う競技では、その絶対値(例えば100m走のタイム)が試合の結果となるので、これをそのまま実力の基準として使うことができる(自己ベストタイムなど)。しかし、チェスやサッカーのような対戦型の競技では、試合の結果は勝敗であるから、そのままでは実力を表すことができない。そこで、勝敗を実力の指標に変換する工夫が必要となる。

古典的指標としては、勝率(勝敗比に変換することもできる)がある。しかし、勝率には「対戦相手の強さを考慮していない」という欠点があった。すなわち、トッププレイヤーばかりを相手にして勝率5割の場合と、初心者ばかりを相手にして勝率5割の場合とでは、言うまでもなく前者のほうが実力が上であるが、勝率ではこのような事情が反映されない。対戦相手が均等になる総当たり戦の競技では、これが問題となることはないが、チェスなどでは、実力があるプレイヤーほど強い相手との対戦が増えることから、勝率では強さを表すことができないという事態に陥った。

これを解消する手段が、イロレーティングである。イロレーティングは、対戦相手の強さを考慮した勝利確率に基づいて計算される指標である。実際には、まず対戦前の相互のレーティングに基づいて勝利確率(期待勝率)を計算し、これと実際の対戦結果との差異に基づいてレーティングを更新する。これを試合のたびに繰り返すことで、いずれレーティングが各プレイヤーの真の勝利確率、すなわち強さを表す適正な値に収束するというわけである。

なお、イロレーティングでは、引き分けは考慮しない。したがって、引き分けは0.5勝0.5敗扱いとして計算するか、引き分けは必ず再試合を行うものとして再試合の結果によって計算するか、引き分けの試合はレーティング計算の対象外とする(試合をしなかったのと同様の扱い)か、いずれにしても競技の規定に従って試合結果を全て勝敗の形式で表すことを前提とする。以下では、引き分けの場合について一々言及しない。

レーティングの定義編集

あるプレイヤーのイロレーティング は、そのプレイヤーが、平均的プレイヤーと対戦した場合に予想される勝利確率と敗北確率をそれぞれ として、

 

で定義される。式変形して勝敗比の側から見れば、

 

である。ここで、400や1500と言った定数は、単に数値を見やすくするために調整しているに過ぎず、イロレーティングの本質は、勝敗比を対数に変換したものということである。

以下、プレイヤー がプレイヤー に勝利する確率(=プレイヤー がプレイヤー に敗北する確率)を 、プレイヤー のイロレーティングを などと表記することとする。

レーティングから算出される勝利確率編集

ここで、勝敗比は積によって推移するという重要な仮定を置く。すなわち、3人のプレイヤー について、イロレーティングでは、

 

という関係が満たされることを前提とする。このような関係が満たされない競技では、イロレーティングで適切に実力を評価することができない。例えば  に対して平均して2勝1敗のペース(勝率約67%)、  に対して平均して3勝1敗のペース(勝率75%)だとすれば、  に対して平均して6勝1敗のペース(勝率約86%)となることが必要である。

このような仮定を置くことで、任意のプレイヤー の対戦において、平均的プレイヤーを として、

 

という関係を導出することができる。ここで、 であることから、

 

となり、レーティング差から勝利確率が得られることになる。

このようにして計算される勝利確率は以下の常識にかなう特徴を満たす。

  • 勝利確率は、常に0%から100%の間に収まる。
  • レーティングが等しいプレイヤー同士の対戦では、勝利確率は50%となる。
  • レーティング差の絶対値が大きくなるほど、上位者の勝利確率が高くなる。
  • レーティング差がプラスの無限大に近づけば、勝利確率は100%に漸近し、レーティング差がマイナスの無限大に近づけば、勝利確率は0%に漸近する(レーティング差を横軸に、勝利確率を縦軸に取れば、ロジスティック曲線を描く)。

レーティングからの実力の把握編集

ここまでの説明から、以下が得られる。

  • 平均的プレイヤーのレーティングは1500である。
  • レーティング差ごとに勝利確率を計算すると次の表のようになる。
レーティング差 0 50 100 150 200 250 300 350 400
上位者勝利確率 50% 57% 64% 70% 76% 81% 85% 88% 91%
下位者勝利確率 50% 43% 36% 30% 24% 19% 15% 12% 9%

これにより、レーティングからそのプレイヤーの強さを容易に把握することが可能となる。

例えば、以下のように実力を把握することができる。

レーティング1500は、平均的プレイヤーの強さである。レーティング1700は、レーティング1500のプレイヤーに76%の勝率となる強さである。レーティング1900は、レーティング1700のプレイヤーに76%の勝率となる強さである。以下同様に、76%の勝率となるごとにレーティングが200ずつ上がっていく。

ただし、平均的プレイヤー(レーティング1500)の基準は、競技によっては、対局場ごとに異なることがある。例えば、将棋のレーティングの場合には、プロ棋士のレーティングはプロ棋士の平均を1500としており、アマチュア将棋道場のレーティングはその道場の会員の平均を1500としている。言うまでもなく、前者のほうが高レベルとなるため、異なる対局場で算出されたレーティングを補正なしで比較することはできない。チェスでは、レーティングの基準は一応統一されているものの、対局場ごとに細かいズレが存在する。

算出方法編集

各プレイヤーについて、いきなり勝利確率を適切に表すレーティング値を算出することはできない。そこで、イロレーティングでは、最初は仮の値を置いておき、試合ごとに少しずつレーティングを更新していって、徐々に適正値に収束させるという手段をとる。具体的には、試合のたびに、従前のレーティングに基づく勝利確率と実際の対局結果とを比較し、この差異によって、レーティング値を更新する

例えば、  回続けて試合を行うとする(チェスの対局では、一度に複数局を行うのが通例である)。このとき、イロレーティングから計算される の勝利確率は、

 

であり、 に期待される勝利数は、 である。試合の結果、 の勝利数が だったとする。その場合、レーティングから期待された勝利数と実際の勝利数との差に基づいて、 のレーティングを

 

に更新する( についても同様に更新する)。なお、 は自由に設定できる定数値であり、一般的には32が採用されることが多いが、プロレベルでは16が使われることもある。 が大きいほど、適正レーティングに収束するのが早くなる一方、収束した後も頻繁に上下する不安定な値となる。

要するに、実際の勝利数がレーティングから期待される勝利数を上回れば、レーティングが過小であったと判断してレーティングをプラスに更新し、逆に実際の勝利数がレーティングから期待される勝利数を下回れば、レーティングが過大であったと判断してレーティングをマイナスに更新するわけである。

 の対戦を何試合も続けて行うのでなければ、 は1、 は0か1となるので、 であることに注意すれば、計算はより単純になる。すなわち、 を32とすれば、 が勝利したとき、

 
 

とレーティングを更新する。

式を見れば分かるように、敗北したプレイヤーのレーティング減少分と同じ値が、勝利したプレイヤーのレーティングに加算される。そして、このレーティング変動分は、敗北した側の勝利確率が高いほど(つまり番狂わせが起きるほど)、大きくなる。

例として、レーティング1500のプレイヤー とレーティング1700のプレイヤー が対戦し、 が勝利したとする。この場合、 は約76%であるから、

 
 

 の新たなレーティングとなる。

擬似的な算出方法編集

日本の囲碁将棋のオンライン対戦サイトなどでは、イロレーティングを簡略化したレーティングが使用されることが多い。本来のイロレーティングの計算は、上述の通り、プレイヤー がプレイヤー に勝利した場合、

 
 
 

で行われるが、 の計算が多少煩雑になる。そこで、

 

 の計算を線型の式に簡略化する(レーティング差を横軸に、勝利確率を縦軸に取れば、元々のイロレーティングはロジスティック曲線だったが、簡略版のこの式は単純な直線となる)。

この簡易イロレーティングを採用した場合、レーティング差に基づく勝利確率は以下のようになる。

レーティング差 0 50 100 150 200 250 300 350 400
上位者勝利確率 50% 56% 62% 69% 75% 81% 88% 94% 100%
下位者勝利確率 50% 44% 38% 31% 25% 19% 12% 6% 0%

勝利確率の計算式こそ異なるが、勝利確率と試合結果を用いてレーティングを更新していく点は、本来のイロレーティングと同様である。ただし、この簡略化された勝利確率では、レーティング差が400以上になると計算上の勝利確率が0%以下・100%以上になるという重大な欠陥がある。そのため、この方法を使う場合は、基本的にレーティング差400未満のプレイヤー同士での対戦が前提となり、レーティング差400以上のプレイヤー間では、 と無関係にレーティング変動値を決めるなど特殊な処理が必要となる。

実際のレーティングの計算は、簡略化された を代入すれば、

 
 

となる。

この方法は、オンライン将棋対局場の将棋倶楽部24近代将棋道場などで使われている。ただし、これらの対局場では、小数点以下は四捨五入とし、レーティングの変動分が1から31の範囲に収まらない場合(レーティング差が400以上となる場合や400に近い場合)には、上記の計算によらず変動分を1あるいは31とするという特殊な処理をしている。

なお、TAISENの囲碁対局では、

 

という式を用いている。ここで、 はハンデ(置き石やコミの調整による)ごとに定められた点数であり、ハンデをレーティングに反映している点が、将棋倶楽部24や近代将棋と異なる。

その上で、TAISENは を24とし、

 
 

でレーティングを計算する。なお、小数点以下は四捨五入とし、極端にレーティング差がある場合に特例を設けている点は他と同様である。

レーティングのインフレ・デフレ編集

イロレーティングは、試合が行われるごとに対戦した当事者間でレーティングが更新されるため、1500が平均的プレイヤーを表す本来のレーティング値から乖離することがある。すなわち、全プレイヤーのレーティングが過大になるレーティングインフレ、あるいは全プレイヤーのレーティングが過小になるレーティングデフレである。イロレーティングは、そもそも相対評価の指標であるから、レーティングがインフレ・デフレしたとしても、現在そのリーグに所属するプレイヤー間の実力の比較に支障はない。しかしながら、レーティングインフレ・デフレによって、過去のプレイヤーのレーティングとの比較ができなくなったり、あるいは特定のリーグでレーティングインフレ・デフレが生じた結果、他のリーグのレーティングとの比較ができなくなったりするという問題が生じることがある。

例えば、あるプレイヤーがレーティング3000でリーグに参戦し、レーティングを1000まで落としてから引退したとする。このとき、このプレイヤーは、現役中に差し引き2000のレーティングを他のプレイヤーに奪われたことになる。すなわち、このプレイヤーによって、リーグ全体のレーティングの合計値が2000増加したことになる。逆に、レーティング1000で参入して3000で引退するプレイヤーがいれば、リーグ全体のレーティングを合計2000減少させたことになる。このように、各プレイヤーのレーティングの著しい減少(増加)は、リーグ全体のレーティングの増加(減少)に繋がる。

もっとも、プレイヤー1人の影響によるレーティングの増減はわずかなものであり、増加させるプレイヤーと減少させるプレイヤーとが互いに相殺していることから、大きな影響はない。しかし、何らかの原因により、レーティングの増加あるいは減少ばかりが生ずれば、レーティングインフレやレーティングデフレが起きるのである。

具体的には、チェスのFIDE公式レーティングは、コンピューターソフトを利用した研究の普及などの原因により、旧時代のトッププレイヤーがレーティングを大きく落として引退し、結果として1985年ごろから年に数点ずつレーティングインフレを起こしている[1]。チェスではグランドマスターをはじめとするタイトルをレーティングで規定しているため、レーティングインフレによってタイトル保持者が増加するという現象に繋がっている。

また、日本のオンライン将棋対局場である将棋倶楽部24では、初期レーティングを自己申告で決められることから、これを過小に申告して登録後にレーティングを急上昇させたり、あるいはコンピューター将棋ソフトを利用した不正行為によってレーティングを上昇させた後で不正が発覚して退会処分になったりといった事例が重なり、著しいレーティングデフレの状態にあると指摘されている[2][3][4]。将棋倶楽部24では、段級位の基準をレーティングで定めているため、レーティングデフレによって一般の段級位との釣り合いが取れなくなる問題に繋がっている。

レーティングインフレ・デフレの問題を解決するため、標準偏差を考慮したグリコレーティングが考案され、一部のチェス団体(オーストラリアチェス連盟英語版など)、インターネット上のチェスサイトで利用が始まっている。また、オンライン将棋対局場の81Dojoでは、オンライン将棋対局ではレーティングデフレが起きやすいことを考慮して、レーティングを下がりにくく調整した非対称レーティングを採用している[5]

文献編集

  • The Rating of Chessplayers, Past and Present (1978), Arco. ISBN 0-668-04721-6 - 考案者による解説

脚注編集

関連項目編集