実効記述集合論(じっこうきじゅつしゅうごうろん、Effective descriptive set theory)は記述集合論細字の定義をもつ集合実数を扱う分野である; それはすなわち、定義にいかなる実数パラメータも要さないものである (Moschovakis 1980)。つまり実効記述集合論は、記述集合論と再帰理論を組み合わせたものである。

構成

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実効ポーランド空間

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実効ポーランド空間とは計算可能な表現(en:computable presentation)を持つ完備可分距離空間のことである。このような空間は、実効記述集合論と構成的解析学の両方で研究されている。 特に、実数直線カントール集合ベール空間などのポーランド空間の標準的な例は全て実効ポーランド空間である。

算術的階層

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算術的階層、またはクリーネ-モストフスキ階層は、ある集合を、それらを定義する式の複雑さに基づいて分類する。そのような分類を受けた集合は「算術的」と呼ばれる。

より正式には、算術的階層は一階算術の言語における論理式に分類を割り当てる。分類は自然数n(0を含む)に対して  と表される。ここでのギリシャ文字は細字記号であり、論理式に集合パラメータが含まれていないことを意味する。

論理式  有界量化子のみを持つ論理式に論理的に同値であるとき   は分類    を両方割り当てる。

0より大きい各自然数 n に対する  ,   は次のように帰納的に定義される:

  •   (ただし、   式)の形の式と論理的に同値であるとき、  には分類   を割り当てる。
  •   (ただし、   式)の形の式と論理的に同値であるとき、  には分類   を割り当てる。

参考文献

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  • Mansfield, Richard; Weitkamp, Galen (1985). Recursive Aspects of Descriptive Set Theory. Oxford University Press. pp. 124–38. ISBN 978-0-19-503602-2. MR786122. https://archive.org/details/recursiveaspects0000mans/page/124 
  • Moschovakis, Yiannis N. (1980). Descriptive Set Theory. North Holland. ISBN 0-444-70199-0. https://archive.org/details/descriptivesetth0000mosc  Second edition available online