数学における エルミート多様体英語: Hermitian manifold)とはリーマン多様体の複素微分幾何における類似である。より正確には、エルミート多様体とは、各点の正則接空間エルミート内積を持ち、それらが滑らかに変化する複素多様体のことを指す。また、エルミート多様体を複素構造を保つリーマン計量を持つ実多様体として定義することもできる。

複素構造は、本質的には可積分条件をもつ概複素構造であり、この条件は多様体上にユニタリ構造(U(n)-構造英語版(U(n) structure))をもたらす。可積分条件を落とすと、概エルミート多様体を得る。

任意の概エルミート多様体上に、計量と概複素構造にのみ依存する基本2形式(fundamental 2-form)と呼ばれる微分形式を定めることができる。基本2形式は常に非退化である。これが閉形式である(すなわちシンプレクティック形式である)という追加の可積分条件を課すことにより、概ケーラー構造(almost Kähler structure)を得る。もし概複素構造と基本2形式の両方が可積分であれば、 ケーラー構造を持つ。

形式的定義

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滑らかな多様体(smooth manifold)   上の複素ベクトル束   におけるエルミート計量(Hermitian metric)とは、各々のファイバー上で滑らかに変化する正定値エルミート形式である。そのような計量は滑らかな切断

 

であって、  の任意の元   に対し

 

であり、  の任意の 0 でない元   に対し

 

を満たすような切断として表すことができる。

エルミート多様体(Hermitian manifold)は、その正則接空間英語版(holomorphic tangent space)上にエルミート計量を持つ複素多様体である。同様に、概エルミート多様体(almost Hermitian manifold)は、その正則接空間上にエルミート計量を持つ概複素多様体である。

エルミート多様体上では、計量は正則局所座標   を用いて

 

と表わされる。ここに   は正定値エルミート行列の成分である。

リーマン計量と随伴形式

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(概)複素多様体   上のエルミート計量   は、基礎多様体上にリーマン計量   を定義する。計量    の実部

 

で定義される。

形式  複素化された英語版(complexified)接バンドル   上の対称双線型形式である。  は自身の共役と等しいので、  上の実形式の複素化となる。  上での   の対称性と正定値性は、対応する   の性質から従う。局所正則座標では、計量  

 

と表わすことができる。

  には次数 (1,1) の複素微分形式   を付随させることもできる。形式    の虚部のマイナス1倍

 

として定義される。再び、  はその共役と等しいので、これは   上の実形式の複素化である。形式   は、随伴 (1,1)-形式(associated (1,1) form)、基本形式(fundamental form)、あるいはエルミート形式(Hermitian form)と様々な呼ばれ方をする。局所正則座標では、 

 

と表わされる。

座標表現から明らかなように、3つの形式     のうち1つが与えられれば、他の2つも一意に定まる。リーマン計量   と付随する形式   とは概複素構造   により次のように関係している: すべての複素接ベクトル    に対し、

 

エルミート計量     から等式

 

によって復元できる。3つの形式    概複素構造   を保つ。すなわち、すべての複素接ベクトル    に対し、

 

である。

従って、(概)複素多様体   上のエルミート構造は、

  1. 上記のエルミート計量  
  2. 概複素構造   を保つリーマン計量  
  3.   を保つ非退化 2-形式   ですべての 0 でない実接ベクトル   に対し   の意味で正定値

のいずれかで特定することができる。

多くの著者が   自身をエルミート計量と呼んでいることに注意する。

性質

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すべての(概)複素多様体にはエルミート計量が入る。このことはリーマン計量についての同様の命題から直ちに従う。概複素多様体   上の任意のリーマン計量   が与えられると、明らかに概複素構造   と整合するような新しい計量   を、次のように構成することができる:

 

概複素多様体   上のエルミート計量を選ぶことは、  上のU(n)-構造英語版(U(n)-structure)を選ぶことと同値である。つまり、  からユニタリ群   への  枠束(frame bundle)の構造群の縮小(reduction of the structure group)である。概エルミート多様体上のユニタリ枠(unitary frame)は、エルミート計量に関して正規直交系をなす複素線型枠である。M のユニタリ枠束英語版(unitary frame bundle)は、すべてのユニタリ枠の主 U(n)-バンドルである。

すべてのエルミート多様体   は、  により決定されるリーマン体積形式である標準体積形式を持つ。この形式は、随伴 (1,1)-形式   によって

 

として与えられる。ここに    と自身との   重のウェッジ積である。従って、体積形式は   上の実  -形式である。局所正則座標では、体積形式は

 

により与えられる。

エルミート計量は、正則ベクトルバンドル上でも考えることができる。

ケーラー多様体

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エルミート多様体の最も重要なクラスは、ケーラー多様体である。ケーラー多様体は、エルミート形式  閉形式

 

となるエルミート多様体である。この場合、形式  ケーラー形式と呼ぶ。ケーラー形式はシンプレクティック形式なので、ケーラー多様体は自然にシンプレクティック多様体となる。

随伴する (1,1)-形式が閉である概エルミート多様体は、自然に概ケーラー多様体と呼ぶ。任意のシンプレクティック多様体には、概ケーラー多様体をなすような整合的な概複素構造が入る。

可積分性

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ケーラー多様体は可積分条件を満たす概エルミート多様体である。この条件はいくつかの同値な方法で述べることができる。

  を実   次元の概エルミート多様体とし、  レヴィ・チヴィタ接続とすると、以下は   がケーラーとなる同値な条件である。

  •   が閉で、  が可積分である
  •  
  •  
  •  ホロノミー群英語版(holonomy group)が   に関するユニタリ群   に含まれる

これらの条件の同値性は、ユニタリ群の「3 から 2(2 out of 3)」の性質に対応する。

特に、  がエルミート多様体であれば、条件   が一見、非常に強く見える条件   と同値である。ケーラー多様体の理論の豊かさは、これらの性質によるところもある。

参考文献

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  • Griffiths, Phillip; Joseph Harris (1994) [1978]. Principles of Algebraic Geometry. Wiley Classics Library. New York: Wiley-Interscience. ISBN 0-471-05059-8 
  • Kobayashi, Shoshichi; Katsumi Nomizu (1996) [1963]. Foundations of Differential Geometry, Vol. 2. Wiley Classics Library. New York: Wiley Interscience. ISBN 0-471-15732-5 
  • Kodaira, Kunihiko (1986). Complex Manifolds and Deformation of Complex Structures. Classics in Mathematics. New York: Springer. ISBN 3-540-22614-1