正則ベクトル束

複素多様体𝑋上の複素ベクトル束であって,全空間𝐸が複素多様体であり射影𝜋: 𝐸→𝑋が正則であるようなもの

数学において,正則ベクトル束(せいそくベクトルそく,: holomorphic vector bundle)とは,複素多様体 X 上の複素ベクトル束であって,全空間 E が複素多様体であり射影 π: EX正則であるようなものである.基本的な例は複素多様体の正則接束とその双対正則余接束である.正則直線束 (holomorphic line bundle) は階数が 1 の正則ベクトル束である.

セールの GAGA により,滑らかな複素射影多様体 X(複素多様体と見る)上の正則ベクトル束の圏は,X 上の代数ベクトル束英語版(すなわち階数が有限の局所自由層)の圏と同値である.

自明化を通した定義編集

具体的には,局所自明化写像

 

双正則であることを要求する.これは変換関数

 

が正則であると要求することと同値である.複素多様体の接束上の正則構造は,ベクトル値正則関数の(適切な意味での)微分がそれ自身正則であることに注意すると保証される.

正則切断の層編集

E を正則ベクトル束とする.局所切断 s: UE|U正則 (holomorphic) であるとは,それが U の各点の近傍においてある(同値だが任意の)自明化において正則であることをいう.

この条件は局所的である,つまり正則切断たちは X 上のをなす.この層は   と書かれることがある.そのような層は必ずベクトル束と同じ階数の局所自由である.E が自明な直線束   であるとき,この層は複素多様体 X構造層   と一致する.

正則ベクトル束に値を持つ形式の層編集

 (p, q) 型の C 微分形式の層を表すと,E に値を持つ (p, q) 型形式の層はテンソル積

 

として定義できる.

これらの層は細層である,つまり1の分割を持つ.

滑らかなベクトル束と正則ベクトル束の間の基本的な差異は,後者にはドルボー作用素英語版と呼ばれる標準的な微分作用素

 

が存在することである.それは局所座標において反正則微分を取ることによって得られる.

正則ベクトル束のコホモロジー編集

E が正則ベクトル束であるとき,E のコホモロジーは  層係数コホモロジーと定義される.とくに,

 

E の大域正則切断の空間,となる.また, E による X の自明直線束の拡大,つまり,正則ベクトル束の完全列 0 → EFX × C → 0, の群をパラメトライズする.群構造については,Baer 和英語版層の拡大英語版も参照.

ピカール群編集

複素微分幾何の文脈では,複素多様体 X のピカール群 Pic(X) は,正則直線束の同型類の群であって,積はテンソル積,逆元は双対である.それは消えない正則関数の層の一次コホモロジー群   として定義することもできる.

正則ベクトル束上のエルミート計量編集

E を複素多様体 M 上の正則ベクトル束とし,E 上にエルミート計量が存在するとする,つまり,ファイバー Ex に滑らかに変化する内積 ⟨•, •⟩ が備わっているとする.すると複素構造と計量構造の両方と両立する E 上の接続 が一意的に存在する.つまり, が次のような接続である:

(1) E の任意の滑らかな切断 s に対して,  ただし pE 値 1 形式英語版(0, 1) 成分を取る.
(2) E の任意の滑らかな切断 s, tM 上のベクトル場 X に対し,
 
ただし X による  contraction  と書いた.(これは による平行移動英語版が計量 ⟨•, •⟩ を保存すると言っても同じである.)

実際,u = (e1, …, en) が正則枠であるとき,  とし, ωu を等式   によって定義する.この等式をより単純に次のように書く:

 

u′ = ug を基底の正則な変換 g による別の枠とすると,

 

であり,したがって ω は確かに接続形式であって,s = ds + ω · s によって を生じる.今,  であるから,

 

つまり, は計量構造と両立する.最後に,ω(1, 0) 形式であるから, (0, 1) 成分は   である.

 曲率形式とする.  は二乗して零になるから,Ω(0, 2) 成分を持たず,Ω は歪エルミートであることが容易に示せるから[1],それはまた (2, 0) 成分ももたない.したがって,Ω は次で与えられる (1, 1) 形式である:

 

曲率 Ω は正則ベクトル束の高次コホモロジーの消滅定理,例えば小平の消滅定理中野の消滅定理英語版,において顕著に現れる.

脚注編集

  1. ^ 例えば,E 上のエルミート計量の存在は,枠束の構造群がユニタリ群に帰着され,Ω がこのユニタリ群のリー環(歪エルミート行列からなる)に値を持つことを意味する.

参考文献編集

  • Griffiths, Phillip; Harris, Joseph (1994), Principles of algebraic geometry, Wiley Classics Library, New York: John Wiley & Sons, ISBN 978-0-471-05059-9, MR1288523 
  • Hazewinkel, Michiel, ed. (2001), "Vector bundle, analytic", Encyclopaedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4

関連項目編集

外部リンク編集