カラテオドリの定理 (凸包)

R2 内の正方形に対するカラテオドリの定理の描画例

数学凸幾何学英語版の分野におけるカラテオドリの定理(カラテオドリのていり、: Carathéodory's theorem)とは、Rd 内の点 x がある集合 P凸包に属するなら、d + 1 個あるいはそれ以下の個数の点からなる P の部分集合 P′ で、x がその凸包に属するようなものが存在する。また同値であるが、 に対し、xP 内の頂点の r-単体に属する。1911年に、P がコンパクトである場合の証明を与えたコンスタンティン・カラテオドリの名にちなむ。1914年には、エルンスト・スタイニッツ英語版がその定理を Rd 内の任意の集合 P に対して拡張した。

例えば、R2 の部分集合である P = {(0,0), (0,1), (1,0), (1,1)} を考える。この集合の凸包は正方形である。今、P の凸包に属する点 x = (1/4, 1/4) を考える。このとき、凸包が三角形であるような集合 {(0,0),(0,1),(1,0)} = P′ を構成すると、x はその中に属し、|P′| = 3 であるために定理が成立する一例となる。2次元の場合は、この例のように P 内の任意の点を囲む三角形を P の点から構成することが出来るので、カラテオドリの定理を図として可視化する試みは有用となる。

証明編集

xP の凸包に属する点とする。このとき xP 内の有限個の点の凸結合である。すなわち

 

と書ける。但し xj はすべて P に属し、λj はすべて非負であり、  である。

k > d + 1 を仮定する(そうでない場合は証明する必要がない)。このとき、点 x2 − x1, ..., xk − x1線型従属であるので、ゼロでないものがある実スカラー μ2, ..., μk に対して

 

が成り立つ。μ1

 

のように定義されるなら、

 
 

となり、この μj のすべてがゼロになることはない。したがって、少なくとも一つ μj > 0 となるものがある、このとき、任意の実数 α に対して

 

が成り立つ。特に、等号は α が次のように定義されたときに成り立つ。

 

ここで α>0 であり、1 と k の間のすべての j に対して

 

であることに注意されたい。特に α の定義から λi − αμi = 0 である。したがって

 

が成り立つ。但しすべての   は非負で、それらの和は 1 で、  である。言い換えると、x は高々 k-1 個の P の点の凸結合として表現される。この過程を x が高々 d + 1 個の P の点の凸結合として表現されるまで繰り返せばよい。

またこの他の証明ではヘリーの定理が用いられる。

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参考文献編集

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