ゲルフォント=シュナイダーの定理

ゲルフォント=シュナイダーの定理 (ゲルフォント=シュナイダーのていり、: Gel'fond-Schneider's theorem) は、指数関数の値の超越性に関する定理である。1934年に、アレクサンダー・ゲルフォント (en) とテオドール・シュナイダー (en) によって、それぞれ独立に証明された。

定理の主張編集

α を 0, 1 以外の代数的数、β を有理数ではない代数的数としたとき、  は、超越数である。

編集

系1
  を 0, 1 以外の代数的数とする。  は、有理数であるか超越数である。
系2
  を 0 以外の代数的数とする。もし、  が有理数体上線形独立であるならば、  である。

編集

ゲルフォント=シュナイダーの定理を用いて、以下の数が超越数であることが示される。

  •   。(オンライン整数列大辞典の数列 A007507)
  •   。(オンライン整数列大辞典の数列 A078333)
  •   。これはゲルフォントの定数とよばれる。(オンライン整数列大辞典の数列 A039661)
  • 有理数ではない代数的数   に対する、 ,  ,  
  •   が有理数ではない代数的数   に対する、 ,  ,  
  • 乗法的独立[1]である、0, 1 ではない代数的数   に対する、 

歴史編集

ヒルベルトは、1900年にパリで行われた国際数学者会議において、ヒルベルトの23の問題と呼ばれる23個の問題のうち、7番目の問題として、「a が 0 でも 1 でもない代数的数で、b が代数的無理数であるとき、ab超越数であるか」を提出した。

その後、1929年に、ゲルフォントによって、β が虚二次体の場合に、  が超越数であることを証明し、例えば、  が超越数であることを示した。

その直後、ゲルフォントの方法を元にして、ジーゲル (C. L. Siegel) は、β が実二次体の場合に成り立つことを示したが、発表はされなかった。翌年(1930年)、クズミン (R. O. Kuz'min) は、ゲルフォントの方法に基づいて、同じ結果を発表した。

1934年に、ゲルフォントとシュナイダーがそれぞれ独立に、β が一般の代数的数の場合に成り立つことを証明した。 この結果、ヒルベルトの第7問題が肯定的に証明された。 ヒルベルトは、第7問題は大変難しい問題であり、リーマン予想の方が早く解決するのではないかと思っていたが、10年余りで証明されたことを聞いて、大変驚いたという。

ゲルフォント=シュナイダーの定理より、2つの代数的数の対数が有理数体上線形独立であれば、代数的数体上線形独立となるが(系2)、この結果を 2以上の対数に拡張したものが、アラン・ベイカーによって、1966年に発表された(ベイカーの定理を参照)。

脚注編集

  1. ^ 整数   に対して、  ならば、  が成り立つとき、  は、乗法的独立であるという。

関連項目編集

参考文献編集