サレム数

数学において、サレム数（サレムすう、英語: Salem number）とは、代数的整実数 $α$ > 1 のうち、全ての共役根（英語版）の絶対値が1以下で、そのうち少なくともひとつの絶対値がちょうど1に等しいものを言う。サレム数はディオファントス近似および調和解析で扱われる。ラファエル・サレム（英語版）にちなんで命名された。

性質編集

絶対値1の根を持つため、サレム数の最小多項式は常に相反となる。すなわち 1/ $α$ も根の1つとなり、他全ての根は絶対値がちょうど1となる。それゆえ $α$ は常に代数学的整数環のノルム1の可逆元となる。

すべてのサレム数はペロン数（英語版）（代数的整実数のうち、少なくとも1つの共役数がより小さな絶対値を持つ）である。

ピゾ＝ヴィジャヤラガヴァン数との関係編集

知られている最小のサレム数は次のレーマー多項式（D・H・レーマー（英語版）にちなんで命名された）

P(x)=x^{10}+x^{9}-x^{7}-x^{6}-x^{5}-x^{4}-x^{3}+x+1

の最大の実数根であり、およそ x = 1.17628 である。これは最小のサレム数で、かつ既約非円分多項式で最小のマーラー測度だろうと予想されている^[1]。

レーマー多項式はより短い十二次多項式

Q(x)=x^{12}-x^{7}-x^{6}-x^{5}+1

の因数であり、この多項式の12根はすべて関係式

x^{630}-1={\frac {(x^{315}-1)(x^{210}-1)(x^{126}-1)^{2}(x^{90}-1)(x^{3}-1)^{3}(x^{2}-1)^{5}(x-1)^{3}}{(x^{35}-1)(x^{15}-1)^{2}(x^{14}-1)^{2}(x^{5}-1)^{6}\,x^{68}}}

を満たす^[2]。

サレム数はピゾ＝ヴィジャヤラガヴァン数（英語版）から構築できる。すなわち、後者のうち最小のものは三次多項式

x^{3}-x-1

の唯一の実数根（プラスチック数として知られる）であり、その値はおよそ 1.324718 である。これを用いて既知のうち最小のものを含む、いくらかの小さなサレム数の族を生成できる。一般的な方法はピゾ＝ヴィジャヤラガヴァン数の最小多項式 P(x) およびその相反多項式 P*(x) をとり、方程式