シルベスター行列

シルベスター行列（シルベスターぎょうれつ、英語: Sylvester matrix）とは、2つの多項式が共通根を持つか否かを判定する行列である。名称は英国の数学者ジェームス・ジョセフ・シルベスターに因む。

概要

2つの多項式を以下のようにする。

$f(x)=\sum _{i=0}^{n}a_{i}x^{n-i}=a_{0}x^{n}+a_{1}x^{n-1}+\dots +a_{n}$

$g(x)=\sum _{i=0}^{m}b_{i}x^{m-i}=b_{0}x^{m}+b_{1}x^{m-1}+\dots +b_{m}$

このとき、$m+n$ 個の変数をもつ連立方程式

${\begin{cases}a_{0}x_{0}+a_{1}x_{1}+\cdots +a_{n}x_{n}&=0\\\quad \qquad a_{0}x_{1}+\cdots +a_{n-1}x_{n}+a_{n}x_{n+1}\quad &=0\\\quad \qquad \qquad \qquad \qquad \cdots \cdots &\\\qquad \qquad \qquad a_{0}x_{m-1}+a_{1}x_{m}+\cdots \cdots +a_{n}x_{m+n-1}&=0\\b_{0}x_{0}+b_{1}x_{1}+\cdots \cdots +b_{m}x_{m}&=0\\\quad \qquad b_{0}x_{1}+\cdots \cdots +b_{m-1}x_{m}+b_{m}x_{m+1}&=0\\\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \cdots \cdots &\\\quad \qquad \qquad b_{0}x_{n-1}+b_{1}x_{n}+\cdots \cdots \cdots +b_{m}x_{m+n-1}&=0\end{cases}}$

が自明でない解 $x_{k}=\alpha ^{m+n-1-k}(0\leqq k\leqq m+n-1$) を持つことと、$f$, $g$ が共通根 $\alpha$ を持つこととが同値である。この連立方程式の係数行列であるシルベスター行列は以下に示される $m+n$ 次の正方行列である。

${\begin{pmatrix}a_{0}&a_{1}&\quad &\cdots &a_{n}&&&\\[5pt]&a_{0}&a_{1}&\quad &\cdots &a_{n}&&0\\[5pt]0&&\ddots &\ddots &&&\ddots &\\[5pt]&&&a_{0}&a_{1}&\quad &\cdots &a_{n}\\[5pt]b_{0}&b_{1}&\cdots &\quad &b_{m}&&&\\[5pt]&b_{0}&b_{1}&\cdots &\quad &b_{m}&&0\\[5pt]0&&\ddots &\ddots &&&\ddots &\\[5pt]&&&b_{0}&b_{1}&\cdots &\quad &b_{m}\end{pmatrix}}$

また、この行列の行列式を $R(f,g)$ と表し、終結式（しゅうけつしき、英語: resultant; リザルタント）またはシルベスター行列式と言う。

$f(x)=a_{0}\prod _{i=1}^{\deg f}(x-\alpha _{i}),\quad g(x)=b_{0}\prod _{j=1}^{\deg g}(x-\beta _{j})$

と因数分解するとき、

$R(f,g)=a_{0}^{\deg g}b_{0}^{\deg f}\prod _{1\leq i\leq \deg f,1\leq j\leq \deg g}(\alpha _{i}-\beta _{j})$

$R(cf,g)=c^{\deg g}R(f,g),\quad R(f,cg)=c^{\deg f}R(f,g)$

$f(x)$ と $g(x)$ が共通根をもつための必要十分条件は $R(f,g)=0$ である。多項式 $f(x)=a_{0}x^{n}+a_{1}x^{n-1}+\dots +a_{n-1}x+a_{n}$ が重根をもつための必要十分条件は $f$ とその導多項式 $f'$ が共通根を持つことであり、また、$f$ の判別式 $D(f)$ が $D(f)=0$ となることであるから、終結式と判別式とは互いに関係がある。事実として

$a_{0}D(f)=(-1)^{n(n-1)/2}R(f,f')$