ダンドラン球面(水色の円錐と黄色く示された円錐断面に接する2つの球P1とP2)

ダンドラン球面もしくはダンドラン球とは、円錐と平面接する1つもしくは2つのである。円錐と交わる平面は円錐断面と呼ばれ、ダンドラン球面は円錐断面の焦点で接する。そのため、ダンドラン球面は焦点球(focal spheres)とも呼ばれる[1]

ダンドラン球面は1822年に発見され[2]ベルギー数学者ジェルミナル・ピエール・ダンドランにちなんで名付けられた。アドルフ・ケトレーの名前がつくこともある[3][4][5]  。ダンドラン球面は定理の証明に使われることがあり、その問題はダンドランよりも前から知られていた定理であるにもかかわらず、その証明を非常に簡潔にしたことで知られている。

その定理の一つは、「閉じた円錐断面(楕円)は2つの点(焦点)からの距離の和が一定である軌跡である」というものである。これは古代ギリシアの数学者、ペルガのアポロニウスらによって知られていたが、ダンドラン球面が簡潔な証明を与えた。

他にも、「任意の円錐断面において、焦点からの距離とある直線(準線)からの距離の比(離心率)が一定となる」の証明にも寄与している。この定理も古代ギリシアのパップスによって知られていたが、ダンドラン球面が簡潔な証明を与えた

円錐断面は焦点に対してそれぞれ1つの球を持つ。具体的には楕円は1つの円錐内に2つのダンドラン球面を持ち、双曲線は2つの円錐内にそれぞれ1つのダンドラン球面を持ち、放物線は1つのダンドラン球面を持つ。

円錐曲線が、焦点からの距離の和が一定な点の集合(楕円)である証明編集

円錐と交差する平面とその境界である曲線(曲線の内部は薄い青色)を考える。 2つのダンドラン球面が存在し、1つのダンドラン球面(G1)は曲線より上にあり、もう1つダンドラン球面(G2)は曲線より下にある。各球と円錐との接線は円(白い色)となる(それぞれ、k1とk2とする)。

「距離の和 d(F1, P) + d(F2, P) は の位置にかかわらず一定である。」を証明する

  • 各球は平面と点で接する。それぞれを F1 and F2とする。
  • 曲線上の点P を考える。
    • P と、円錐の頂点 S を通る直線は円k1とk2にそれぞれ点 P1と点 P2 で交差する
    • PF1PP1は共通の点Pから球G1の接点までの距離であるため、距離F1P は距離P1P と等しい。
    • 同様に、距離 F2P は距離 P2Pと等しい。
    • したがって、d(F1, P) + d(F2, P) は P が移動してもd(P1, P) + d(P2, P) である。したがって、この曲線は楕円である。
      • この結果は、 P が P1 と P2を結ぶ直線上にあり、 距離 P1P2 が一定であることから導かれる。

この証明はペルガのアポロニウスの証明とは異なる流れである。

もし楕円が焦点からの距離の和 d(F1, P) + d(F2, P) が一定な点Pの集合と定義されるなら上記の証明は平面と円錐との交差が楕円であることを証明している。また、F1F2を通る線の垂直二等分線に対して対称である。

この証明は、楕円と同様に平面と円錐と交差である双曲線と放物線に対しても応用できる。 さらに平面と円柱との交差としての楕円についても応用できる。

焦点と準線との性質の証明編集

円錐断面の準線はダンドランの作図を用いて作図できる。各ダンドラン球面は円錐と円で接する。その円を含む2つの平面を考える。その2つの平行な平面は円錐断面と2つの直線で交わる。この直線が準線である。しかし、放物線は1つのダンドラン球面しか持たないため、準線も1本しか持たない。

ダンドラン球面を用いれば、任意の円錐断面は、点(焦点)からの距離が準線からの距離に比例する点の軌跡であることも証明できる[6]。古代ギリシアの数学者、パップスはこの性質に気付いていたが、ダンドラン球面は簡潔な証明を与えた[7]

しかしこの証明はダンドランもケトレーも行っておらず、最初に行ったのは、1829年のパース・モートン、か1758年のヒュー・ハミルトンが、「円錐と接する球は、円錐断面と準線を定義する円で接する」と述べた[8][9][10]。焦点と準線との性質は、ケプラーの法則の証明に不可欠である[11]

 

脚注編集

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  1. ^ Taylor, Charles.
  2. ^ Dandelin, G. (1822). “Mémoire sur quelques propriétés remarquables de la focale parabolique” (French). Nouveaux mémoires de l'Académie royale des sciences et belles-lettres de Bruxelles 2: 171–200. https://www.biodiversitylibrary.org/item/101263#page/349/mode/1up. 
  3. ^ Kendig, Keith.
  4. ^ Quetelet, Adolphe (1819) "Dissertatio mathematica inauguralis de quibusdam locis geometricis nec non de curva focali" (Inaugural mathematical dissertation on some geometric loci and also focal curves), doctoral thesis (University of Ghent ("Gand"), Belgium). (in Latin)
  5. ^ Godeaux, L. (1928). “Le mathématicien Adolphe Quetelet (1796-1874)” (French). Ciel et Terre 44: 60–64. http://adsbit.harvard.edu//full/1928C%26T....44...60G/0000060.000.html. 
  6. ^ Brannan, A. et al.
  7. ^ Heath, Thomas.
  8. ^ Morton, Pierce.
  9. ^ Morton, Pierce (1830). “On the focus of a conic section”. Transactions of the Cambridge Philosophical Society 3: 185-190. https://babel.hathitrust.org/cgi/pt?id=nyp.33433004518340;view=1up;seq=223. 
  10. ^ Hamilton, Hugh (1758) (Latin). De Sectionibus Conicis. Tractatus Geometricus. In quo, ex Natura ipsius Coni, Sectionum Affectiones facillime deducuntur. Methodo nova. [On conic sections. A geometric treatise. In which, from the nature of the cone itself, relations of sections are most easily deduced. By a new method.]. London, England: William Johnston. pp. 122–125. https://archive.org/stream/desectionibusco01hamigoog#page/n154. 
  11. ^ Hyman, Andrew.

外部リンク編集