チェビシェフ多項式

直交多項式の一つ

第一種チェビシェフ多項式(: Chebyshev polynomials of the first kind)は以下の式で定義される[1]:

ただし x=cos t

これは三角多項式trigonometric polynomial)、直交多項式の一例である[1]

これはcos(kt)をコサインの加法定理を用いてcos(t)の多項式で表したものと見ることができる。

従って、以下の式を得る。

これらの多項式は次の漸化式に従うことがわかる。 (ただしn = 1, 2, …)

第二種チェビシェフ多項式(: Chebyshev polynomials of the second kind)はによって定義される。 これは先ほどと同様の議論または の関係を用いれば類似した多項式と見ることができる。

従って、最初の数個を列挙すれば以下のようになる。

T と同じ漸化式が U にも成りたち、 (ただしn = 1,2,…) となる。

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性質編集

 
 
 
 

多項式編集

チェビシェフ多項式はゲーゲンバウアー多項式の特別な場合である[2]

 

特に、   次多項式であり、最高次の項の係数は   のとき   である[3]。また偶奇性

 

を持つ[4]

零点と極値編集

第1種チェビシェフ多項式   は区間    個の零点を持つ。その座標は

 

である[5]。これを Chebyshev node と呼ぶ。

  ( ) は区間    個の極値点を持ち(そのうちの二点は区間の両端)、その座標は

 

である[6]。またその極点値は   を満たす[7]。従ってチェビシェフ多項式の区間   での一様ノルム  である。

直交性編集

第1種チェビシェフ多項式は区間  , 重み   に関する直交多項式である。すなわち、直交関係

 

を満足する[8]。ただし  ,   ( ) である。同様に、第2種チェビシェフ多項式は区間  , 重み   に関する直交多項式であり、直交関係

 

を満足する[9]

また、第1種チェビシェフ多項式について離散的な直交関係が知られている。   ( ) の   個の零点とするとき,   に対して離散直交関係

 

が成立する[10]。ただし  ,   ( ) である。この性質はチェビシェフ補間において有用である[11]

漸化式編集

微分を含む漸化式[12]

 

乗法関係[13]

 

応用編集

チェビシェフ補間編集

共役勾配法の誤差限界編集

数値線形代数における共役勾配法の誤差限界はチェビシェフ多項式を用いて表されることが示されている[14]

ガウス-チェビシェフ公式編集

ガウス-チェビシェフ公式はチェビシェフ多項式の零点を用いる数値積分公式であり、ガウス求積の一種である[15]

クレンショ―=カーティス求積編集

チェビシェフ多項式を用いる数値積分法の一種である[16][17][18]

出典編集

  1. ^ a b c d 時弘哲治、工学における特殊関数、共立出版、2006年。
  2. ^ 岩波数学公式III, p. 86.
  3. ^ Gil, Segura & Temme, p. 57.
  4. ^ 岩波数学公式III, p. 88.
  5. ^ Gil, Segura & Temme, p. 57.
  6. ^ Gil, Segura & Temme, p. 57.
  7. ^ Gil, Segura & Temme, p. 57.
  8. ^ 岩波数学公式III, p. 90.
  9. ^ Classical Orthogonal Polynomials”. 2021年1月21日閲覧。
  10. ^ Gil, Segura & Temme, p. 59.
  11. ^ Gil, Segura & Temme, p. 64.
  12. ^ Gil, Segura & Temme, p. 58.
  13. ^ Gil, Segura & Temme, p. 58.
  14. ^ Axelsson, O., & Barker, V. A. (1984). Finite element solution of boundary value problems: theory and computation. SIAM.
  15. ^ Weisstein, Eric W. "Chebyshev-Gauss Quadrature." From MathWorld--A Wolfram Web Resource. http://mathworld.wolfram.com/Chebyshev-GaussQuadrature.html
  16. ^ C. W. Clenshaw and A. R. Curtis "A method for numerical integration on an automatic computer en:Numerische Mathematik 2, 197 (1960).
  17. ^ Trefethen, Lloyd N. (2008). "Is Gauss quadrature better than Clenshaw-Curtis?". SIAM Review. 50 (1): 67–87. CiteSeerX 10.1.1.157.4174. doi:10.1137/060659831.
  18. ^ J. P. Imhof, "On the Method for Numerical Integration of Clenshaw and Curtis", en:Numerische Mathematik 5, p. 138-141 (1963).

参考文献編集

  • 森口繁一、宇田川銈久、一松信『岩波数学公式III 特殊函数』岩波書店、1987年。ISBN 4-00-005509-7
  • Gil, Amparo; Segura, Javier; Temme (2007). Numerical Methods for Special Functions. Society for Industrial and Applied Mathematics. doi:10.1137/1.9780898717822. ISBN 978-0-89871-634-4 
  • Mason, John; Handscomb, David (2003). Chabyshev Polynomials. Chapman & Hall/CRC. ISBN 0-8493-0355-9 

関連項目編集

外部リンク編集