ディリクレ定理
ディリクレ定理 (ディリクレていり、英:?) は、ドイツの数学者ペーター・グスタフ・ディリクレが証明したディリクレの定理(Dirichlet's_theorem)という名前が名付けられた定理のひとつで、フーリエ級数の収束についての定理である[1]。
解説
編集この定理は以下の通りに書くことができる。
実関数 が 周期 2 周期関数でありながら、連続関数、そして 開区間 (- , ) で 極値が有限個存在するならば、関数 のフーリエ級数 は全ての について に一様収束する。(此処で はフーリエ係数である。)
この記事では便宜上 関数 の周期を 2 と設定した。
証明の型
編集関数 が 閉区間 [- , ]でリーマン積分可能でありながら、ある ∈ [- , ] で連続ならばフェイェールの定理によって整数 と について の時、 が成り立つ。 そこで だ。
もし、関数 のフーリエ係数 が ランダウの記号を使って と書くことが出来れば連続な所で のフーリエ級数は に収束する。
上記の 「実関数 が 周期 2 の周期関数でありながら、連続関数、そして開区間 (- , ) で極値が有限個存在する」という条件が を成り立たせる。 その上、連続関数なので に一様収束することも分かる。
証明
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例
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脚注
編集参考文献
編集- 日本評論社編、エリアス・M. スタイン ラミ・シャカルチ 著、 新井仁之、杉本充、 高木啓行、 千原浩之 訳「フーリエ解析入門」2007年。ISBN 978-4-535-60891-7