ディリクレ定理

ディリクレ定理 (ディリクレていり、英：？) は、ドイツの数学者ペーター・グスタフ・ディリクレが証明したディリクレの定理(Dirichlet's_theorem)という名前が名付けられた定理のひとつで、フーリエ級数の収束についての定理である^[1]。

解説編集

この定理は以下の通りに書くことができる。

実関数 $f\,$ が周期 2 ${\mathit {L}}$ 周期関数でありながら、連続関数、そして開区間 $\pi$ で極値が有限個存在するならば、関数 $f\,$ のフーリエ級数 ${\mathit {S}}_{N}(f)(\theta )=\sum _{n=-N}^{N}c_{n}\exp \left({\frac {in\pi \theta }{L}}\right)$ は全ての $\theta$ について $f\,$ に一様収束する。(此処で $c_{n}$ はフーリエ係数である。)

この記事では便宜上関数 $f\,$ の周期を 2 $\pi$ と設定した。

証明の型編集

関数 $f\,$ が閉区間 $\pi$ でリーマン積分可能でありながら、ある $\theta$ ∈ $[$ - $\pi$ , $\pi$ ] で連続ならばフェイェールの定理によって整数 $n$ と $k$ について $n\rightarrow \infty$ の時、 $\sigma _{kn,n}(f)(\theta )\rightarrow f(\theta )$ が成り立つ。そこで $\sigma _{N,K}(f)(\theta )=\sum _{m=N}^{N+K-1}\left({\frac {{\mathit {S}}_{m}(f)(\theta )}{K}}\right)$ だ。

もし、関数 $f\,$ のフーリエ係数 $c_{n}$ がランダウの記号を使って $c_{n}=O\left({\frac {1}{|n|}}\right)$ と書くことが出来れば連続な所で $f\,$ のフーリエ級数は $f\,$ に収束する。

上記の「実関数 $f\,$ が周期 2 $\pi$ の周期関数でありながら、連続関数、そして開区間 $\pi$ で極値が有限個存在する」という条件が $c_{n}=O\left({\frac {1}{|n|}}\right)$ を成り立たせる。その上、連続関数なので $f\,$ に一様収束することも分かる。