ノート:方程式

「いづれ」の表記は「いずれ」が正しいのではないですか？--以上の署名のないコメントは、122.208.84.154（会話）さんが 2007年7月3日 (火) 09:38 (UTC) に投稿したものです（--Makotoy 2009年7月20日 (月) 15:07 (UTC)による付記）。

真偽の確認

本文中の、

しかしながらこれは、既に与えた「方程式を解く」という言葉の意味と矛盾するわけではない。なぜならば、いくつかの文字を任意定数として持つような "値" が解であったということと理解されるからである。

は正しい主張か。「なぜならば」以降は意味がわからない。

1. a = b = 0 のときは c = 0 となり、x は式に現れないから、これは x に関する方程式ではないとする。
2. x の方程式 c = 0 という言明には、変数 x のとりうる値を制限あるいは規定する条件式であることの表明として意味があるから、これは方程式であるとする。

の二通りである。前者は x を変数とする方程式 ax² + bx + c = 0 という言明において、暗黙に ab ≠ 0 が仮定される、あるいは方程式という言明があることによって、それが ab ≠ 0 を包含しているとする立場に立っているのである。

ab≠0 は a≠0かつb≠0 だが、直前の内容と矛盾していないか。--エンチャンテッド・ボイセイ 2007年9月12日 (水) 14:22 (UTC)

上のは、

x + y + z = 1

x + y − z = 1

という連立方程式は、

x + y = 1

z = 0

となり、

x + y = 1

という関係式に帰着されますが、これは任意定数 t を用いて

x = t

y = 1 − t

とも表示でき、t を決めるごとに方程式を満たす x, y, z の組が得られる、ということを表現していると思います。最後に残る未知数の数が増えれば、必要な任意定数の数も増えます。

下のは、言われている通り、ab ≠ 0 ではなく、a ≠ 0 または b ≠ 0 でしょうね。実数であれば

a² + b² ≠ 0

のことです。--１３２人目 2007年9月17日 (月) 01:05 (UTC)

上の方、文章の言いたいことはたぶんわかりました。例えば3変数を2変数に減らす場合であれば、

$f(x,y,z)=0$

に対し、

$g(x,y,t)=0$

のような関係式を作り、

$f'(t(x,y),z)=0$

のようなより単純な形に変換できたとすると、x, yを任意定数と見れば、3変数を2変数に簡略化できたことになる。

というようなことを言っているんだと思います。--エンチャンテッド・ボイセイ 2007年9月17日 (月) 12:19 (UTC)

もともとが, 一変数の場合に「方程式を解く」ことを「未知数への代入によって等式を満足せしめる“値”を得ること」と定義しているので, 変数が増えて連立させる式が不足した状況で, “値”がなんらかの数値だと思っているとその定義のままではダメで, 任意定数を含めて函数値をとるのだと思うなら元の定義のままで大丈夫だということです（未知数がどういう定義域を走り回る変数によって捉えられるかの問題です）. で, 函数値をとるのだと考えることを実際に則して書き下すと, それは「より簡単な方程式系に書きなおす」こととして現れるので「矛盾してない」のだ, ということがかいてあるわけです. 「変数への任意定数の代入」と「変数」そのものは文脈によっては区別されずに同義のこととして扱われますが, 注意すべきは記事の本文では両者を区別して扱って, “変数（変項）に代入するものは定数（定値）である”といったスタンスで書かれてあるので, 回りくどく感じるのでしょう.

ちなみに, エンチャンテッド・ボイセイさんの例はよくわかりませんでした. f(x,y,z) = 0 が2変数に落ちるのであれば, それが意味するところは「f(x,y,z) = 0 から, 任意定数 s, t によって x = x(s,t), y = y(s,t), z = z(s,t) なる解が得られる」ということではないかと思います. 場合によっては s = x, t = y ととることによって「z = z(x,y) を f(x,y,z) = 0 から得ること」と簡略化されるかもしれません. --Wailerleaf 2007年9月18日 (火) 10:34 (UTC)

エンチャンテッド・ボイセイさんが、勘違いしていると思われる部分についてですが、変数を減らすという操作は、例えば、

f₁(x,y,z) = 0

f₂(x,y,z) = 0

という、連立方程式において f₁=0 を z について解き、

z = t(x,y)

を得たとして、

f₂(x,y,t(x,y)) = 0

に帰着するという操作です。一般に、変数を減らす操作は、解くべき方程式の数の減少を伴います。今の例では、 2 本が 1 本になっているわけです。 t は一価函数とは限らないので、少し厄介です。こういった意味で、

f(x,y,z) = 0

という一本の方程式から、変数を減らすということは普通はできません。特別な条件…例えば、実数値函数 a(x,y,z),b(x,y,z) に対して、

a(x,y,z) + i b(x,y,z) = 0

が成り立つ時、（ i は虚数単位です。）

a(x,y,z) = 0

b(x,y,z) = 0

という 2 本の方程式が生まれ、同じように変数の数を減らした方程式を作ることはできます。しかし、そういった、特別な状況でもなければ、1 本の方程式から変数を減らすといったことはできません。敢えて、変数を減らすという言葉を使うならば、Wailerleaf さんが、後半で言われているような意味になってしまうかもしれません。--１３２人目 2007年9月20日 (木) 05:51 (UTC)

意味のわからない文章ではなくなったというお知らせができればよいと思ったので、最低限の式しか書きませんでした。実質的に変数が減らないことは理解しております。おそらく本文の任意定数が残る「方程式を解く」とは、複雑な連立方程式をより本数は多いが、より構造としては簡単な連立方程式に帰着していると言った方がむしろ簡明ではないかと思います。ではそう書き換えようかとも思いましたが、「方程式を解く」という言葉の使い方にも違和感がありました。それらをふまえて、「初等的説明」の最後の段落を、次のものに置き換えたいと考えています。

方程式の解は定数値とは限らず、一定の条件に従って変化する不定値の場合もありうる。別の変数を含むある文字式を方程式の変数に代入し、常に方程式が満足されることを確かめられるのならば、その文字式は方程式の解である。ただし、代入後整理すると元の方程式と同じ形に戻るような文字式は解とは言わない。

全ての解を決定するのが不可能あるいは困難な方程式の場合、方程式を解くとは、解の性質をあらわにしたり、計算機的手法による解の数値計算に役立ったりする、数学的に意義のある方程式の変形や分離を指すことがある。

関数方程式や微分方程式、積分方程式の解は、新しい方程式（関数）である

--エンチャンテッド・ボイセイ 2007年9月20日 (木) 13:20 (UTC)

うまく説明を伝えられなかったと理解することにしますが, とりあえず私は現状維持を推します. --Wailerleaf 2007年9月20日 (木) 15:21 (UTC)

本文を修正とします（上の文は少し変えます）。今回考えたことを1つ書いておくと、Wailerleafさんと私とでは、解を静的なものと見るか、動的なものと見るかに違いがあるように思います。私は文字式で表される解も普通にあると思っていますが、現状の書き方を支持しておられることから、Wailerleafさんは代入時においては解の内部的な構造が「隠される」と考える立場のように思います。数学的には解とは方程式を満足する値（の組）という以上の定義はなく、どちらの立場も可能であろうと思います。しかしそれ以前に、現状の文章はわかりにくいので直した方がよいです。--エンチャンテッド・ボイセイ 2007年9月22日 (土) 10:38 (UTC)

直したほうがいいことには同意するのですが, 二つの案を比べて新案が判りやすくなっているようには思わない, という意味で現状維持を推しています. 文字式が解云々については既に「任意定数を含めて函数値をとるのだと思うなら元の定義のままで大丈夫だということです（未知数がどういう定義域を走り回る変数によって捉えられるかの問題です）」と述べている通りです. 導入の時点で函数変数の方程式などに拘り過ぎると、概念の描象を阻害しかねません. 「文字式」というのも悩ましい表現だと思います. やはり問題点の捉え方に疎通ができていないようです. --Wailerleaf 2007年9月22日 (土) 14:06 (UTC)

勘違いといったのは

f′(t(x,y),z) = 0

となっていて、 x, y がまとめられる場合に限られていたようだったので、そのように説明しました。 z と t が対応させてあるなら、 t と z は混在しませんよね。もちろん、 f′ = 0 が

z - t(x,y) = 0

の事を指しているのなら、それでいいですけどね。微分方程式などにつなげるならば、もう少し定義域や、1 変数、多変数に気を遣った方がいいかもしれません。代数方程式なら代数方程式、方程式一般なら一般、という方向性をぼかしたままなのが、わかりにくい原因なのかもしれません。いきなり、函数方程式という言葉が出てきますが、それまでは、どういう範囲での話をしていたのか、といったことが気になりました。--１３２人目 2007年9月23日 (日) 06:14 (UTC)

「文字式」という言葉には私も悩みました。また、関数方程式という言葉をいきなり出したのは、本文のどこかで方程式の解が値ではなく式の形になることもあると書いた方が良いと思ったからでしたが、そこまでの「方程式」が「値」タイプのみを指すことがぼやけているので、唐突な情報の出し方ではあると思います。--エンチャンテッド・ボイセイ 2007年9月23日 (日) 14:12 (UTC)

「本文のどこかで」というのは、つまりエンチャンテッド・ボイセイさんは記事の全体を見ずに「初等的説明」節で一切合財の内容全部に触れた部分を詰め込むべきであると考えているという意味でしょうか. そうであれば私は反対です. 導入部分では細かいことは“ボカして”もエッセンス的なものに絞っていいのではないかと思います（エンチャンテッド・ボイセイさんのいうように「そこまでの「方程式」が「値」タイプのみを指す」とは思いません. むしろそのあたりは曖昧にしてある記述です, というか, 函数値をとろうが実数値をとろうが, 変数に代入されるものは全部“値”です）.

「数値計算」は「解の近似」を行っているだけで, それを「数値的に解く」と言ったとしても得られるものは一般には解とは違います. いくつかの変形もやはり式変形であり, それを解ということはないとおもいます. 「方程式を解く」と言った場合, やはりそれが指し示す意味は「式を正しく満たす代入」を明示的な形に得ることです. その形が数だろと函数だろうとあるいはもっと別の何かであろうと, このことは共通しているはずです.

代数方程式や函数方程式は現在「分類」節にごそっと纏められていますが, 定義域がどうこうというような話をつっこんでしたいなら, この辺の記述を深めるほうがいいと思います. あるいは, 現在は瑣末な注を行うためだけのためになぜか「一般の方程式」と題した節がありますが, ここは論理式のような抽象的なレベルでやろうとしているようですから, そのあたりで変数の定義域などに触れるのもいいかもしれません. いずれにせよ, 記事全体として見れば今の記事はまったくバランス感覚を逸しているようにおもいますし, 改善を進めていくにしてももっと全体を眺めるべきでしょう.

「文字式」がちゃんと定義されている場面を私は知りません. 中学校あたりで多項式を扱うために便宜的に文字式という言葉を導入することはありますが, それは便宜的なもので, きちんと定義が与えられているものではなかったはずです（現状で, 文字式は多項式へのリダイレクトになっていますが, これは不適切なリダイレクトであるように思います）. --Wailerleaf 2007年9月23日 (日) 15:31 (UTC

関数vs函数

「函数」を「関数」と表記を改めてもらったら他のカテゴリへジャンプする際に有難いんですが。--以上の署名のないコメントは、133.100.250.73（会話）さんが 2009年7月20日 (月) 08:25 (UTC) に投稿したものです（--Makotoy 2009年7月20日 (月) 15:07 (UTC)による付記）。

まず、ノートでの書き込みには 署名をつけ、新しい書き込みは原則として下に追記していくようお願いいたします。(「他のカテゴリへジャンプ」というのがどういうことをおっしゃりたいのかはよくわからないのですが、それはさておき）現在にいたる経緯について、この編集にたいしいわば報復的な形でこの編集が行われ、現在のような「函数」主体の表記になったようなので、Wikipedia:ウィキプロジェクト 数学/函数と関数の趣旨にしたがい、前者の編集以前の表記スタイルに戻すのがよいと個人的には思います。--Makotoy 2009年7月20日 (月) 15:07 (UTC)

冒頭説明に対する疑問

本文冒頭で

さまざまな対象の間に成り立つ数学的な関係を記号を用いて等式などの式によって表したもののことである。

と書かれていますが、この文章だと”不等式も方程式の一種である”と読める気がしますが、この認識で正しいのでしょうか？ 個人的には方程式は複数の対象を等号（もしくは等号のように同値を表す記号）で結んだ式と解釈していたので少し疑問に感じました。もし不等式は方程式に含まれないのであればそれを明示する形に書き直したほうがいいと思います。 --Tera.f 2009年11月2日 (月) 07:02 (UTC)

等号に限定する場合には等式（equation）という言葉があります。解析学的な、漸近的現象en:Asymptotic analysisについての方程式は必ずしも等号を用いて表されるとは限らないでしょう。「方程式は等式で表されていなければならない」と限定した文献があるならば、そのように記事で触れるとよいと思います。（あるいは問題の部分に脚注を付けるのでもいいでしょう。）--Makotoy 2009年11月2日 (月) 07:48 (UTC)

等号でつながっているから「方程式」と言うんですけどね。--ウヒャヒャ（会話） 2015年6月20日 (土) 17:04 (UTC)

「様々な対象の間に成り立つ、等号を用いて表すことのできる関係およびその等式のことである」 と、ありますが、これじゃ単に等式でいいんじゃないですかね。--ウヒャヒャ（会話） 2015年6月20日 (土) 17:40 (UTC)

あと、equationとformulaは大分ニュアンスが違いますが．．．。もう、ここと次の「概要」は全削除して最初から書き直したほうが良いんじゃないですか？--ウヒャヒャ（会話） 2015年6月20日 (土) 19:55 (UTC)

記事の破壊行為はやめてください。ウィキペディアの記事には一定のスタイルがあります。そういったものを破壊するのはただの荒らしです。書き直す必要があると思うなら自分で書いて、それに置き換えてください。そうすることでウヒャヒャさんの編集の意図も具体的に伝わります。単に削除するだけで放置するとかそういった行為はただの破壊でしかありませんから、おやめください。--Sureturn（会話） 2015年6月26日 (金) 23:38 (UTC)

あなたにとっての「破壊」とは何ですか？「一定のスタイル」とは？なぜあなたは過去の版がいいと思ったのですか？--ウヒャヒャ（会話） 2015年6月27日 (土) 05:37 (UTC)

恒等式を方程式に含めている日本の文献をご存知の方、おられましたら御一報を。--ウヒャヒャ（会話） 2015年7月9日 (木) 22:53 (UTC)