ハーン多項式(はーんたこうしき、英語: Hahn polynomials)は直交多項式のひとつで、アスキースキームによって体系付けられる[1]。
ハーン多項式は超幾何級数を用いて次のように定義される:
α , β < − 1 {\displaystyle \alpha ,\beta <-1} または α , β < − N {\displaystyle \alpha ,\beta <-N} に対して以下の直交関係を満たす:
但し、 ( a ) n {\displaystyle (a)_{n}} はポッホハマーの記号を表す。
以下の漸化式が成り立つ。
但し、 Q n ( x ; α , β , N ) {\displaystyle Q_{n}(x;\alpha ,\beta ,N)} を Q n ( x ) {\displaystyle Q_{n}(x)} と略記し、
とした。
次の差分方程式を満たす:
但し、
ロドリゲスの公式に相当する以下の式を満たす:
以下の母関数を持つ:
変数 x {\displaystyle x} と n {\displaystyle n} を交換することによって双対ハーン多項式 R x ( λ ( n ) ; α , β , N ) {\displaystyle R_{x}(\lambda (n);\alpha ,\beta ,N)} が得られる:
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