フレシェ分布英語: Fréchet distribution) は逆ワイブル分布としても知られている。フレシェ分布は、ガンベル分布(タイプIの極値分布)、ワイブル分布(タイプIIIの極値分布)とともに、一般化極値分布英語: generalized extreme value distribution)の特別なケースである。フレシェ分布はタイプIIの極値分布と呼ばれる。

フレシェ分布
確率密度関数
フレシェ分布の確率密度関数
位置母数が0の場合
累積分布関数
フレシェ分布の累積分布関数
位置母数が0の場合
母数 形状母数英語版.
(以下の2つのパラメータを追加できる)
尺度母数英語版 (標準分布で )
位置母数英語版 (標準分布で )
確率密度関数
累積分布関数
期待値
中央値
最頻値
分散
歪度
尖度
エントロピー , ここで はオイラー・マスケローニ定数。
モーメント母関数 モーメント  ならば存在する。
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フレシェ分布の名称は、フレシェ分布を発見した数学者モーリス・ルネ・フレシェに由来する[1]

研究の発展

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モーリス・ルネ・フレシェは、1927年に、Fréchet (1927) において、最大値の漸近分布を考察している[2][3]。フレシェ分布の研究は、さらに、ロナルド・フィッシャーとL・H・C・ティペットの1928年の共著論文によってなされている[4]。Fisher and Tippett (1928) は、極値分布がガンベル分布(タイプI)、フレシェ分布、ワイブル分布(タイプIII)の3つのいずれか1つのみであることを示した[4]エミール・ユリウス・ガンベルは、フレシェ分布を含む極値分布の研究を詳細に行い、1958年に極値統計学の書籍をまとめた[5]

定義と性質

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フレシェ分布の累積分布関数は

 

である (Alves & Neves 2011) 。ここで、α > 0は、形状パラメータである。フレシェ分布の確率密度関数は

 

となる。

フレシェ分布の期待値と分散は以下の通りとなる (Alves & Neves 2011)。

  • 期待値は となる。
  • 分散は となる。

ここで、 ガンマ関数であり、

 

である。

ガンベル分布(タイプI)、フレシェ分布(タイプII)、ワイブル分布(タイプIII)は、一般化極値分布として単一の分布関数で表現できる[6]

一般化フレシェ分布

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位置パラメータ m(最小値)と尺度パラメータs > 0を含めることで、フレシェ分布を一般化することができる[7]。 一般化フレシェ分布の累積分布関数は

 

である。 一般化フレシェ分布の確率密度関数は

 

となる。

応用例

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水文学
フレシェ分布は、1日当たり降水量の年間最大値のような極端な現象に適用される。
金融
フレシェ分布は、市場収益をモデル化するために使われてきた[7]
国際経済学貿易論
リカード・モデルを連続財・多数国モデルに拡張した著名な研究 Eaton and Kortum (2002) は、国iの各財を生産する効率性 ( ) の分布が次のフレシェ分布に従うと仮定した[8]
 
ここで、  が形状パラメータ(定義式の )に相当する。  が小さいほど、効率性の分散が大きくなり、比較優位の役割が大きくなる。  は、分布の場所を左右する追加的なパラメータである。 が大きいほど、効率性が高められ、絶対優位が強くなる[8]

脚注

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注釈

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出典

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参考文献

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関連項目

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