確率論および統計学において、歪度(わいど、skewness)は、分布の非対称性を示す指標である。日本産業規格では、ゆがみひずみ(歪み)を確率密度関数または確率関数 f (x) のグラフが左右対称でないこと、ゆがみの程度を平均値まわりの 3 次モーメント µ3 と標準偏差 σ の 3 乗との比 µ3/σ3 と定義している[1]

分布の尖り(とがり)具合を示す指標である尖度[2]とともに用いる。歪みをもち、尖度が大きい金融データなどではこれらの指標を頻繁に用いる。

標準化編集

確率分布の分布特性を示すためには、通常は期待値および分散が用いられる。さらに、分布型の差を示す指標の一つに 3 次モーメント(3 乗の期待値)と 4 次モーメント(4 乗の期待値)とがある。これらのモーメントは、平均値と分散の影響を除くように標準化される。[平均値は、位置尺度には依存しないが、スケール尺度(たとえば分散)に依存する。]

確率変数 X の期待値が μ、分散が σ2 のとき、標準化確率変数   は期待値 0、分散 1 となり、平均と分散の影響は除去される。

Z の 3 次モーメント  ) は歪度   と呼ばれる。とくに標準正規確率変数の分布に歪みはなく、0 を中心として左右対称であるから歪度は 0 である。歪度の符号によって、正の歪みをもつ分布、負の歪みをもつ分布といわれる。

Z の 4 次モーメント  尖度 β2 と呼ばれる。分散が σ2 である正規分布ならば、平均値まわりの 4 次モーメント    であり、標準正規確率変数では   である。正負を基準にして、  の分布は急尖的分布と呼ばれ、正規分布よりも両裾が厚い分布になる。一方、  の分布は緩尖的分布と呼ばれ、正規分布よりも両裾が薄い分布になる。

たとえば対数正規分布に従う確率変数の歪度は正であり、尖度は常に 3 より大きい。

推定編集

一般に、平均まわりの k 次モーメント   は、k 次の標本モーメントによって推定することができる。したがって、歪度と尖度は、原系列を標準化すれば 3 次の標本モーメント   および 4 次の標本モーメント   で推定できる。母分布が正規分布であるか否かを調べるためには、歪度と尖度が標準化された正規確率変数の値 0 と 3 に似るか否かを調べればよい(ジャック–ベラ検定)。ボウマン=シェントン[3]は、正規性検定の指標[4]

 

が、帰無仮説が正規分布である下で自由度が 2 のカイ二乗分布に漸近的に従うことを示した。

脚注編集

  1. ^ JIS Z 8101-1 : 1999, 1.19 ゆがみ,ひずみ skewness.
  2. ^ 左右対称ならば歪度は 0 である。同様に正規分布ならば尖度は 0(別の定義によれば 3)である。しかし、明らかに歪度が 0 であるからといって左右対称ではないし、尖度が 0(別の定義によれば 3)であるからといって正規分布でもない。
  3. ^ Bowman, Kimiko O. and Shenton, LR. Biometrika, 1975.
  4. ^ Jarque-Bera

参考文献編集

  • 西岡康夫『数学チュートリアル やさしく語る 確率統計』オーム社、2013年。ISBN 9784274214073
  • 日本数学会『数学辞典』岩波書店、2007年。ISBN 9784000803090
  • JIS Z 8101-1:1999 統計 − 用語と記号 − 第1部:確率及び一般統計用語日本規格協会、1999年。
  • 伏見康治確率論及統計論河出書房、1942年。ISBN 9784874720127

関連項目編集

外部リンク編集