ブレートシュナイダーの公式
ブレートシュナイダーの公式(ブレートシュナイダーのこうしき、Bretschneider's formula)は、四角形の面積を与える公式である。四角形ABCD について、p, q, r, s をそれぞれの辺の長さ、T を半周長、A と C を互いに対角とすると、四角形の面積は
に等しい。円に内接する四角形の面積を表したブラーマグプタの公式の一般化であり、任意の四角形について成り立つ。名前の由来はドイツの数学者カール・アントン・ブレートシュナイダー(1808–1878)にちなむ。
証明
編集四角形の面積を S とすると、
- (±は、凸四角形と凹四角形の場合を省略します)
より
を得る。また、余弦定理より、
であるから
を得る。4S2 についての式と辺々を足し合わせ、加法定理 cos(A + C) = cos A cos C − sin A sin C を用いると、
となる。倍角の公式 を用いて変形すると、
となる。この式は、半周長
を用いて
となり、ブレートシュナイダーの公式を得る[1]。
関連する公式
編集円に内接する四角形については、対角の和の半分が 90°であることから、ブラーマグプタの公式
- S = √(T − p)(T − q)(T − r)(T − s)
が成り立つ。また、円に外接する四角形については、対辺の和が等しく、T = p + r = q + s であることから
が成り立つ。さらに外接円と内接円を持つ四角形、つまり双心四角形については、
- S = √pqrs
となる。また、上記の証明は p = 0 として三角形の面積を考えているとしても通用し、ヘロンの公式
- S = √T(T − q)(T − r)(T − s)
を得る。
脚注
編集- ^ E. A. ボブソン 1918, p. 203-205.
参考文献
編集- E. A. José García (2020) (英語). Two Identities and their Consequences. MATINF. pp. 5-11
- アーネスト・ウィリアム・ホブソン (1918) (英語). A Treatise on Plane Trigonometry. Cambridge University Press
関連項目
編集外部リンク
編集- 『ブレートシュナイダーの公式』 - 高校数学の美しい物語
- Weisstein, Eric W. "Bretschneider's formula". mathworld.wolfram.com (英語).