ブレートシュナイダーの公式

ブレートシュナイダーの公式(ブレートシュナイダーのこうしき、Bretschneider's formula)は、四角形の面積を与える公式である。四角形ABCD について、p, q, r, s をそれぞれの辺の長さ、T半周長、A と C を互いに対角とすると、四角形の面積は

p, q, r, s, A, C の値から四角形の面積が求まる。

に等しい。円に内接する四角形の面積を表したブラーマグプタの公式の一般化であり、任意の四角形について成り立つ。名前の由来はドイツ数学者カール・アントン・ブレートシュナイダー(1808–1878)にちなむ。

証明編集

四角形の面積を S とすると、

 (±は、凸四角形と凹四角形の場合を省略します) 

より

 

を得る。また、余弦定理より、

 

であるから

 

を得る。4S2 についての式と辺々を足し合わせ、加法定理 cos(A + C) = cos A cos C − sin A sin C を用いると、

 

となる。倍角の公式   を用いて変形すると、

 

となる。この式は、半周長

 

を用いて

 

となり、ブレートシュナイダーの公式を得る。

関連する公式編集

円に内接する四角形については、対角の和の半分が 90°であることから、ブラーマグプタの公式

S = (Tp)(Tq)(Tr)(Ts)

が成り立つ。また、円に外接する四角形については、対辺の和が等しく、T = p + r = q + s であることから

 

が成り立つ。さらに外接円と内接円を持つ四角形、つまり双心四角形については、

S = pqrs

となる。また、上記の証明は p = 0 として三角形の面積を考えているとしても通用し、ヘロンの公式

S = T(Tq)(Tr)(Ts)

を得る。

関連項目編集

外部リンク編集

  • Weisstein, Eric W. "Bretschneider's formula". MathWorld (英語).