階段関数は、x < 0 または x > 0 の範囲で連続であるが, x = 0 で値 c をとるものとして階段関数
を実数全体の集合 上の関数 と考えるならば、c をどのように定めても原点 x = 0 で不連続である。c の値は必要に応じて都合のよい値を選ぶことができるが、c = 0, 1/2 などがしばしば用いられ、それぞれ
である。また、
と表すことができる。関数 sgn は符号関数である。
ディラックのデルタ関数 δと区間 の定義関数 に対し
とおくと、これは x < 0 のとき区間 は 0 を含まず、x ≥ 0 のとき区間 が 0 を含むことから
となる。つまり
と表される。この意味でヘヴィサイドの階段関数はディラックのデルタ関数を確率密度関数とするときの累積分布関数に相当する。