ベクトル解析の公式の一覧

ベクトル解析の公式の一覧(ベクトルかいせきのこうしきのいちらん)では、3次元空間におけるベクトル解析の公式の一覧を与える。

内積と外積編集

ここで  ,  ,   は任意のベクトルである。また重複添え字については和を取る。 レヴィ=チヴィタ記号  ,   がなす角である。

内積[1]

 
 

外積[1]

 
 
 

スカラー三重積[2][3]

 

ベクトル三重積[4][3]

 

ヤコビ恒等式[3]

 

四重積[3]

 
 

微分公式編集

ここで  ,   は任意のベクトル場,   は任意のスカラー場である。[3]

 
 
 
 
 
 
 
 

ヘルムホルツ分解[3]

 

積分公式編集

ここで  ,  ,   は任意のベクトル場,  ,   は任意のスカラー場である。また,   は空間領域,   はその境界,   は面,   はその法線ベクトル (  の場合   は外向きに取る),   は面要素ベクトルである。閉曲線   に関する線積分   は法線   に対応する向きとする。

ガウスの発散定理および関連する公式[3](最後の等式はグリーンの定理である)

 
 
 
 

ストークスの定理および関連する公式[3]

 
 
 

曲線座標編集

曲線座標における勾配発散回転ラプラシアン物質微分の公式。

円柱座標編集

円柱座標   と直交座標   の変換[5]

 

単位基底ベクトル[5]

 
 
 

計量[6]

 

体積要素[6]

 

勾配[6]

 

発散[6]

 

回転[6]

 

ラプラシアン (スカラー場)[6]

 

ラプラシアン (ベクトル場)[6]

 
 
 

物質微分[7]

 
 
 

球座標編集

球座標   と直交座標   の変換[5]

 

単位基底ベクトル[5]

 
 
 

計量[8]

 

体積要素[8]

 

勾配[8]

 

発散[8]

 

回転[8]

 

ラプラシアン (スカラー場)[8]

 

ラプラシアン (ベクトル場)[9]

 
 
 

物質微分[7]

 
 
 

直交曲線座標編集

3次元ユークリッド空間   の曲線座標   について、その座標系で計量が

 

という対角形になるとき、これを直交曲線座標と呼ぶ[10]。この座標系に付随する規格化された基底ベクトルを   とする。

体積要素[11]

 

勾配[11]

 

発散[11]

 

回転[11]

 

ラプラシアン (スカラー場)[11]

 

物質微分[7]

 

脚注編集

  1. ^ a b ベクトル・テンソル解析”. 2020年11月27日閲覧。
  2. ^ Richard Fitzpatrick. “Scalar Triple Product”. 2020年11月27日閲覧。
  3. ^ a b c d e f g h 電磁気学に用いるベクトル公式集”. 2020年11月27日閲覧。
  4. ^ Richard Fitzpatrick. “Vector Triple Product”. 2020年11月27日閲覧。
  5. ^ a b c d 座標系・ベクトルの復習”. 2020年11月27日閲覧。
  6. ^ a b c d e f g Richard Fitzpatrick. “Cylindrical Coordinates”. 2020年11月27日閲覧。
  7. ^ a b c Convective Operator”. Wolfram MathWorld. 2021年4月21日閲覧。
  8. ^ a b c d e f Richard Fitzpatrick. “Spherical Coordinates”. 2020年11月27日閲覧。
  9. ^ Vector differential operators”. p. 252. 2021年4月21日閲覧。
  10. ^ 河合佑太. “物理数学補足ノート(直交曲線座標)”. 2020年11月27日閲覧。
  11. ^ a b c d e Richard Fitzpatrick. “Orthogonal Curvilinear Coordinates”. 2020年11月27日閲覧。