モーメント (数学)

数学確率論および関係した諸分野におけるモーメント (moment) または積率(せきりつ)とは、物理学におけるモーメントを抽象化した概念である。

実変数 x に関する関数 f(x)n 次モーメント は、

で表される。妥当な仮定の下で高次モーメント全ての値から関数 f(x) は一意に決定される。f を密度関数とする測度重心を表している。

関数 f(x)c 周りの n 次モーメント は、

で表される。

重心周りのモーメント μn = μ(μ)n中心モーメントまたは中心化モーメントといい、こちらを単にモーメントということもある。

確率分布のモーメント編集

確率密度関数 f(x) のモーメントには、次のような要約統計量としての意味付けがある。

  • 全測度は1 
  •  x平均値
  •  分散 標準偏差
  •  歪度
  •  尖度

変量統計のモーメント編集

変量統計における、データ x1, …, xN のモーメントの定義を2つ挙げる。1つ目の定義では

 

と表される。要約統計量は確率分布の場合と同様である。

もう1つの変量統計のモーメントの定義では

 

と表される。

この定義による変量統計のモーメントには、確率密度関数のモーメントに似た、次の性質がある。

  •  
  •   は平均値。
  •   は分散、  は標準偏差。
  •   は歪度。
  •   は尖度。

画像のモーメント編集

2変数関数 f(x, y)(m + n) 次モーメント   は、

 

または、デジタル画像に対しては、

 

で表される。

2変数関数のモーメントは、画像の特徴抽出に利用される。

画像のモーメントには、次のような性質がある。

  •  面積(ピクセル値の総和。二値画像などでピクセル値が一定ならば面積を意味する。)。
  •  重心
  • 慣性主軸(周りの2次モーメントが最小になる直線)は重心を通り、傾きは  で、θ  を満たす。
  • 慣性主軸を x 軸に一致させれば、中心モーメントは平行移動・回転に対し不変、中心モーメントを   で割った値は拡大縮小に対し不変。

モーメントは同様に、多変数関数に拡張できる。

参考文献編集

  • Weisstein, Eric W. "Moment". MathWorld (英語).
  • アンドレイ・コルモゴロフ 著、根本伸司 訳 『確率論の基礎概念』(新装版)東京図書、1988年。ISBN 978-4489002700 
  • 舟木直久 『確率論』朝倉書店〈講座数学の考え方〉、2004年。ISBN 978-4254116007