ヤコビの定理 (幾何学)
ユークリッド幾何学において, ヤコビの定理(やこびのていり、英Jacobi's theorem)とは任意の三角形△ABCと角α, β, γについての定理である。 三点 X, Y, Z が
を満たすときAX, BY, CZは共点でありその点をヤコビ点という[1]。ヤコビの定理はカール・フリードリッヒ・アンドレアス・ヤコビにちなんで名づけられた。
ヤコビ点は フェルマー点の一般化で, α = β = γ = 60°としたときにフェルマー点となる。
3つの角が等しいとき, ヤコビ点 N は重心座標 で以下の式を満たす双曲線上にある。
これはキーペルト双曲線と呼ばれる。
ヤコビ点は次のように一般化することができる。
三角形ABCの辺上にK,L,M,N,O,PをBK/KC=CL/LB=CM/MA=AN/NC=AO/OB=BP/PA,∠DOP =∠FNM,∠DPO=∠EKL,∠ELK=∠FMN を満たすように配置する。このとき三角形 LMY,NOZ,PKX はそれぞれ三角形OPD,KLE ,MNF,と相似で、DY, EZ FXは共点である。
参考文献 編集
- ^ de Villiers, Michael (2009). Some Adventures in Euclidean Geometry. Dynamic Mathematics Learning. pp. 138–140. ISBN 9780557102952
関連 編集
- A simple proof of Jacobi's theorem written by Kostas Vittas
- Fermat-Torricelli generalization at Dynamic Geometry Sketches First interactive sketch generalizes the Fermat-Torricelli point to the Jacobi point, while 2nd one gives a further generalization of the Jacobi point.