キーペルト双曲線

三角形におけるキーペルト双曲線(キーペルトそうきょくせん)とは、三角形の3つの頂点と重心垂心を通る双曲線である。名前はドイツの数学者であるルードヴィヒ・キーペルト英語版に由来している。

キーペルト双曲線
Gは重心、Oは垂心である。

キーペルト点と存在証明編集

 
キーペルト点

キーペルト点は、以下の手順で作図される点である。

  1. 三角形 ABC に対し、∠xBC = ∠xCB = θ となる点 x をとる。
    • θが正の時は x は BC に対し A と逆側に取る。θ が負の時は x は BC に対し A と同じ側に取る。
  2. 同様に y, z をとる。
  3. Ax, By, Cz の交点 N がキーペルト点である。

キーペルト点の軌跡がキーペルト双曲線となる。

3線が1点で交わることは以下のように証明できる。

  • Ax と BC が交わる点を D とする。
  • BD : DC = △ABx : △ACx = AB sin(B + θ) : AC sin(C + θ)
  • 同様に B とCA の交点を E, Cz と AB の交点を F とすると
    CE : EA = BC sin(C + θ) : AB sin(A + θ), AF : FB = AC sin(A + θ) : BC sin(B + θ).
  • チェバの定理の逆より AD, BE, CF は1点で交わる。

性質編集

上述の式からキーペルト点の重心座標は以下のようになる。

(a/sin(A + θ), b/sin(B + θ), c/sin(C + θ)).

ここで、a = BC, b = CA, c = AB である。

キーペルト双曲線の重心座標による式は以下のようになる。

(a2b2)xy + (c2a2)xz + (b2c2)yz = 0.

漸近線は、ブロカール軸と外接円の交点から求められるシムソン線であり、その交点は重心座標によって以下のように表される。

((b2c2)2, (c2a2)2, (a2b2)2).

この点は九点円上にある。

三角形が二等辺三角形のとき、この双曲線は2本の漸近線に退化する。正三角形のとき、上述の重心座標の式の左辺は0になるため定義できない。実際 θ=-60° のとき、任意の点 P に対して AxP ByP CzP の3組は同一直線上にある。

線上の主な点編集

以下の点はキーペルト双曲線上にある

外部リンク編集

  • Weisstein, Eric W. "Kiepert Hyperbola". MathWorld (英語).