ランキン渦またはランキンの結合渦: Rankine's combined vortex)とは、渦度分布の一様な中核部分と、その外側の渦なしの部分からなるである[1]。日常的に水面などに見られる渦[2]流体力学で考察する際に、単純化された近似モデルとして使われる。

ランキン渦が考察の対象とするのは、自由表面を持つ水が鉛直軸の周りに回転している状況である。水面には大気圧p がかかっているとする。

また、次の仮定を行う:

  • 流体は完全流体である。
  • 流速は高さz 方向の成分を持たず、またz に依存しない。すなわち2次元流れである。
  • 外力(ここでは重力)はポテンシャルを持つ保存力である。

これを、半径a の円内に渦度ωが一様に分布し、円外は渦なしであるものと考えると、渦の中心から半径r の位置の速度v は円周方向成分のみを持ち、

となる[1]。一方、圧力p は、高さをz で表すと次のように表される[3]

ここでρは流体の密度、g は重力加速度である。

無限遠での水面の高さをz = 0 とすると、自由表面の圧力pz = 0, r →∞での圧力に等しいから

が成り立ち、これを用いて上式を書き換えれば、

と表される。

水面の形は、上式でp =p となる高さz であるから、

と得られる。したがって水面は、渦の中では回転放物面の形を持ち、渦の外ではr2 に反比例するようなくぼみとなる。くぼみの最深点は

で与えられ、渦度ωと渦の半径a の積(=渦の周辺での流速)の2乗に比例する。

脚注編集

  1. ^ a b 今井功 『流体力学(前編)』(24版) 裳華房、1997年、177-179頁。ISBN 4-7853-2314-0 
  2. ^ このような渦では、渦度は中心付近で最大である。
  3. ^ 巽友正 『流体力学』 培風館、1982年、189-190頁。ISBN 4-563-02421-X