ランデン変換 (Landen's transformation) は、数学において楕円積分楕円関数の母数を増減させる恒等式。楕円関数の数値計算に有用である。

楕円積分のランデン変換とガウス変換編集

第一種楕円積分

 

につき、次の恒等式をランデン変換という。

 

同じく、次の恒等式をガウス変換という。

 

ランデン変換の導出編集

ランデン変換は

 
 

の置換により導かれる。

 

 を陽にすると

 
 
 
 
 

である。

ガウス変換の導出編集

ガウス変換は

 
 

の置換により導かれる。

 

 を陽にすると

 
 
 
 
 
 

である。

楕円関数のランデン変換編集

次の恒等式を楕円関数の上昇ランデン変換という。

 
 
 

次の恒等式を楕円関数の下降ランデン変換という。

 
 
 

当初の母数が であれば、上昇ランデン変換は母数を増加させ、下降ランデン変換は母数を減少させる。上昇ランデン変換を繰り返すことにより、母数が1に収束し、楕円関数は双曲線関数に近似される。下降ランデン変換を繰り返すことにより、母数が0に収束し、楕円関数は三角関数に近似される。この性質により、ランデン変換は楕円関数の数値計算に有用である。

導出編集

楕円積分のランデン変換により

 

のときに

 
 
 

であるから

 
 
 

である。楕円積分のガウス変換により

 

のときに

 
 
 

であるから

 

であるが、  に改め、  に改めれば

 
 
 

となる。

虚数変換編集

上昇ランデン変換と下降ランデン変換は虚数変換により交替する。

 

上昇ランデン変換により

 

虚数変換により

 

  と書き、  と書けば

 

となるが、これは下降ランデン変換である。

出典編集