楕円積分

特殊関数の一つ

以下の定積分をそれぞれ、第一種、第二種、第三種の楕円積分(だえんせきぶん、: elliptic integral)という。ただし、である。

定数母数(modulus)、を特性(characteristic)という。母数の代わりにパラメーター、或いはモジュラー角を用いることもあり、慣れない人を混乱させる種になっている。日本語の場合は、特性を助変数(通常はparameterの訳語)と称することもあるので更に注意が必要である。

楕円弧長など、三次式、或いは四次式の平方根積分五次以上の高次方程式は楕円積分に帰着し、初等的に求まらないことが知られている。

また、第一種・第二種楕円積分には二つの引数、第三種楕円積分には三つの引数が必要である。

ルジャンドルの標準形編集

最初に示したものはヤコービの標準形であるが、ヤコービの標準形において積分変数 と置けば(置換積分)幾らか簡単なルジャンドルの標準形が得られる[1]

 


特定の母数の場合編集

ヤコービの標準形編集

 の場合は逆三角関数に、 の場合は逆双曲線関数になる[2]

 

ルジャンドルの標準形編集

 

ただし、 は逆グーデルマン関数である。また特に のとき、第三種楕円積分は第二種楕円積分で表すことができて、

 

となる。

第一種完全楕円積分編集

第一種完全楕円積分は、ルジャンドルの標準形における第一種楕円積分の積分範囲を までとしたものである[3]

 

 テイラー級数に展開した後、ウォリスの公式を用いて項別に積分すると

 

となる。ただし、 [4]と定義する。

第二種完全楕円積分編集

第二種完全楕円積分は、ルジャンドルの標準形における第二種楕円積分の積分範囲を までとしたものである[5]

 

 のテイラー級数に展開した後、ウォリスの公式を用いて項別に積分すると

 

となる。ただし、 と定義する。

ルジャンドルの関係式編集

次の恒等式ルジャンドルの関係式という。

 

ランデン変換とガウス変換編集

次の恒等式をランデン変換という。

 

次の恒等式をガウス変換という。

 

楕円積分の応用編集

楕円の弧長編集

楕円 の弧長は、

 

となる。離心率 を用いれば、上式は、

 

となり、第二種楕円積分が現れる。 したがって、楕円の円周上で 座標が の点から 座標が の点までの弧長は となる。 ここで とすれば楕円は真円になり、弧長は となる(ここでは  軸の方向になっていることに注意すること。)。

単振子の周期編集

脚注編集

  1. ^ ルジャンドルの標準形のφとヤコービの標準形のxとの間には、 の関係がある。詳しくは置換積分を参照。 実際に置換積分を行う際には、 より  となり、 と変形されることに留意せよ。
  2. ^ 第二種楕円積分では、k=1と置くと双曲線関数でもない一次式のxとなる。
  3. ^ ヤコービの標準形においては、積分範囲はt=1までとなる。  
  4. ^ 詳しくは二重階乗の記事を参照。
  5. ^ ヤコービの標準形においては、積分範囲はt=1までとなる。  

参考文献編集

  • 森口繁一・宇田川銈久・一松信 『岩波 数学公式I 微分積分・平面曲線』(新装版)岩波書店、1987年、140 - 151頁。ISBN 978-4000055079 

関連項目編集