最初に示したものはヤコービの標準形であるが、ヤコービの標準形において積分変数 と置けば(置換積分)幾らか簡単なルジャンドルの標準形が得られる[1]。
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の場合は逆三角関数に、 の場合は逆双曲線関数になる[2]。
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ただし、 は逆グーデルマン関数である。また特に のとき、第三種楕円積分は第二種楕円積分で表すことができて、
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となる。
第二種完全楕円積分は、ルジャンドルの標準形における第二種楕円積分の積分範囲を までとしたものである[5]。
のテイラー級数に展開した後、ウォリスの公式を用いて項別に積分すると
となる。ただし、 と定義する。
次の恒等式をルジャンドルの関係式という。
次の恒等式をランデン変換という。
次の恒等式をガウス変換という。
- ^ ルジャンドルの標準形のφとヤコービの標準形のxとの間には、 の関係がある。詳しくは置換積分を参照。
実際に置換積分を行う際には、 より 、 となり、 と変形されることに留意せよ。
- ^ 第二種楕円積分では、k=1と置くと双曲線関数でもない一次式のxとなる。
- ^ ヤコービの標準形においては、積分範囲はt=1までとなる。
- ^ 詳しくは二重階乗の記事を参照。
- ^ ヤコービの標準形においては、積分範囲はt=1までとなる。
- 森口繁一・宇田川銈久・一松信『岩波 数学公式I 微分積分・平面曲線』(新装版)岩波書店、1987年、140-151頁。ISBN 978-4000055079。
- 竹内端三「楕円函数論」岩波全書(1936年5月15日)、ISBN 978-4-000213271.
- Cody, W. J.: "Chebyshev approximations for the elliptic integrals K and E", Math. Comp., vol.19, pp.105-112 (1965).
- Roland Bulirsch: "Numerical calculation of elliptic integrals and elliptic functions", Numer.Math.,vol.7, pp.78–90 (1965).
- Toshio Fukushima: "Fast computation of complete elliptic integrals and Jacobian elliptic functions", Celest Mech Dyn Astr, vol.105, pp.305328 (2009).
- Fredrik Johansson: "Numerical Evaluation of Elliptic Functions, Elliptic Integrals and Modular Forms" (2018).