リーマン和(リーマンわ、英語: Riemann sum)とは、
実数区間
上で、
なる数列があるとし、
代表点
と数列の有限差分
が
を満たし、
区間
上で定義された実数値連続函数
があるとき、

のことである。
この
での極限が、リーマン積分

である[1]。
ニュートンとライプニッツがそれぞれ別々に、微分と積分の逆演算性を発見した。
しかし、
コーシーよりも前の積分は、微分の定義に依存したニュートン・ライプニッツ以来の逆微分であり、微分と独立に定義されたものではなかった
[2][3]。
"Euler は積分を微分の逆演算として定義しているが,Cauchy は定積分をまず定義した後,
を定理として導いた.こうした発想の逆転も Cauchy に負う.[4]"
リーマン和はコーシーの左和
と右和
を源流とする[5]。
これによって、微分の存在とは無関係に積分が定義できるようになった。

における

の右和
被積分函数が単項式のとき編集
例えば、 で のとき
等差数列 をとると、
左和と右和は、それぞれ、
-
-
となる[6]。
等比数列 をとると、
左和と右和は、それぞれ、
-
-
となる。
等差数列か等比数列か、左和か右和かに関係なく、
での極限ではいずれも。
-
積分の結果が対数となるとき編集
で のとき
等比数列 をとると、
左和と右和は、それぞれ、
-
-
となる[7]が、
での極限をとると、
-
となる。
他方、
逆微分より
-
であるから、
-
が得られる。