リーマン和(リーマンわ、英語: Riemann sum)とは、 実数区間 上で、 なる数列があるとし、 代表点 と数列の有限差分 を満たし、 区間 上で定義された実数値連続函数 があるとき、

のことである。


この での極限が、リーマン積分

である[1]ニュートンライプニッツがそれぞれ別々に、微分積分の逆演算性を発見した。 しかし、 コーシーよりも前の積分は、微分の定義に依存したニュートンライプニッツ以来の逆微分であり、微分と独立に定義されたものではなかった [2][3]。 "Euler は積分を微分の逆演算として定義しているが,Cauchy は定積分をまず定義した後, を定理として導いた.こうした発想の逆転も Cauchy に負う.[4]" リーマン和はコーシーの左和 と右和 を源流とする[5]。 これによって、微分の存在とは無関係に積分が定義できるようになった。


における の右和

リーマン和の具体例編集

被積分函数が単項式のとき編集

例えば、   のとき

等差数列編集

等差数列   をとると、 左和と右和は、それぞれ、

 
 

となる[6]

等比数列編集

等比数列   をとると、 左和と右和は、それぞれ、

 
 

となる。

等差数列か等比数列か、左和か右和かに関係なく、   での極限ではいずれも。

 


積分の結果が対数となるとき編集

   のとき

等比数列   をとると、 左和と右和は、それぞれ、

 
 

となる[7]が、   での極限をとると、

 

となる。 他方、 逆微分より

 

であるから、

 

が得られる。

参考文献編集

  1. ^ 『リーマン論文集』足立恒雄・杉浦光夫・長岡亮介編訳
  2. ^ 二キフォロスキー著、馬場良和訳『積分の歴史 - アルキメデスからコーシー, リーマンまで -』現代数学社, 1993, pp.190 - 191
  3. ^ 安部齊『微積分の歩んだ道』森北出版, 1989, pp.194 - 195
  4. ^ 岩波『数学辞典』第四版, p.106
  5. ^ コーシー『微分積分学概要』小堀憲訳・解説
  6. ^ 遠山啓『微分と積分 - その思想と方法 -』日本評論社, 1970, pp.180 - pp.181
  7. ^ 遠山啓『微分と積分 - その思想と方法 -』日本評論社, 1970, pp.182 - pp.183