数学では、ヴォイタ予想(Vojta's conjecture)は、ポール・ヴォイタ英語版(Paul Vojta)1987により導入された、代数体上の代数多様体の点の高さについての予想である。予想は、ディオファントス近似複素解析ネヴァンリンナ理論(Nevanlinna theory)(値分布論)の間の類似を動機としていた。ヴォイタ予想は、多くのディオファントス近似論やディオファントス方程式、数論幾何、ロジックの予想を含んでいる。

予想の記述

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  を数体とし、  非特異代数多様体、   上の悪くとも正規交叉を持つ有効な因子   の上の豊富な因子、   の標準因子とする。   をヴェイユの高さ函数を選び、  上の各々の絶対値   に対し、局所高さ函数を   とする。  の絶対値   の有限集合を固定し、  とすると、上記の選択に依存しない定数   と空でないザリスキー開集合   が存在し、全ての   に対し、

 

を満たす。

1、   とすると、  であるので、ヴォイタ予想からは、すべての  に対し、
 
であることが分かる。
2、   を、例えば、K3曲面カラビ・ヤウ多様体のような自明な標準バンドルを持つ多様体とすると、ヴォイタ予想は、  を有効な豊富な正規交叉の因子とすると、アフィン多様体   上の  -整な点は、ザリスキー稠密ではないことを予言する。
3、  一般型の多様体、つまり、   のある空ではないザリスキー開集合上で豊富であるとすると、  に対し、ヴォイタ予想は、   上のザリスキー稠密でないことを予言する。この一般型多様体の命題は、ボンビエリ・ラング予想英語版(Bombieri-Lang conjecture)である。

一般化

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   の上で変化するような一般化が存在し、体の拡大   の判別式とは独立な上限を持つ項が加わる。

非アルキメデス的な局所的高さ   が消去された局所的高さと置き換わる一般化が存在する。この高さでは、多重度を無視することが可能である。これらのヴォイタ予想には、ABC予想の自然な高次元類似をもたらすバージョンもある。

参考文献

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  • Vojta, Paul (1987), Diophantine approximations and value distribution theory, Lecture Notes in Mathematics, 1239, Berlin, New York: Springer-Verlag, doi:10.1007/BFb0072989, ISBN 978-3-540-17551-3, MR883451