中間値の定理

中間値の定理（ちゅうかんちのていり、英: intermediate value theorem）とは、実数の区間の連結性に関する以下のような存在型の定理である。

中間値の定理：関数 f を閉区間［a, b］上で連続な関数とすると、f(a) < s < f(b) を満たす実数 s に対して、f(x) = s を満たす実数 x が少なくとも一つ存在する。

中間値の定理 ― 実数直線 R の閉区間 I ＝［a, b］上で定義される連続な実数値関数 f が f(a) < f(b) を満たすとき、閉区間［f(a), f(b)］内の任意の点 γ に対して、γ ＝ f(c) となる I 内の点 c が存在する。

この「明らか」な定理の証明を与えたのはボルツァーノである^[1]。

概要編集

直感的には、平面上に異なる2点をとり、適当にこの2点を結ぶ連続な曲線を描く。そしてこの2点の位置関係が互いに反対側になるように直線を引いたとき、その曲線と直線とがどこかで必ず交点を持つ、ということに相当している。

ある種自明のように思われるが、これは実数の閉区間が連結であり、その連続像が再び閉区間したがって連結となること（一般に連結な位相空間の連続写像による像はやはり連結である）から成り立つ定理である。

なお、「任意の閉区間が連結である」事と「実数の連続性が成立する」事は同値であり（例えば、有理数体上では［a, b］は連結でない）、中間値の定理自体も結局は実数の連続性と同値である^{[注 1]}。

中間値の定理のある種の逆、つまり任意の中間値をとる関数は連続である、は成り立たないことがダルブーにより示されている^[2]。

証明編集

概略のみ述べる。必要な事実は

通常の位相に関して実数の閉区間は連結な位相空間である。
連結空間の連続像は連結である。

の二つだけである（この事実はここでは認めて話を進めることにする）。

証明

いま、定理の仮定を満たす関数 f について Im(f) = {f(x) | x ∈ I} とおく。また、f(a) < γ < f(b) とする（どちらかの点に一致するときは定理は自明である）。このとき U = {α ∈ Im(f) | α < γ} と V = {β ∈ Im(f) | γ < β} とおくと、f(a) ∈ U, f(b) ∈ V だから、U, V は何れも空集合でなく、しかも互いに共通部分をもたない Im(f) 内の開集合である。