円錐台(えんすいだい、: circular truncated cone)は、底面がである錐台である。つまり、円錐底面平行平面で切り、小円錐の部分を除いた立体図形である。

Kegelstumpf.svg

プリンの形は一般的には円錐台である。受験数学、特に日本の中学入試でよく出題される立体である。

体積編集

初等的な導出編集

錐体の体積公式を知っているが積分計算は知らない場合(日本の多くの小中学生はそうである)、体積を求めるには、円錐から小円錐を取り除いたと考えればよい。ここで、一般の錐台の体積公式を求めておく。上底面、下底面の面積をそれぞれ S1, S2, 高さを h とする。 もとの大きな錐体の高さ H

 

を満たす。これを H について解くと、

 

となる。錐台の体積 V

 

であるから、先ほどの H を代入して整理すると

 

となる。

これにより、上底面の半径 r1, 下底面の半径 r2, 高さ h の円錐台の体積 V

 

となる。

積分編集

体積を求めるには、底面となる円の面積を積分してもよい。

 

または、台形を回転させた回転体と見ることもできる。回転軸から台形の重心までの距離が

 

であることに注意してパップス=ギュルダンの定理を用いると、

 

となる。

側面積編集

上底面の半径 r1, 下底面の半径 r2, 母線 l の円錐台の側面積 SS

 

となる。

関連項目編集