円錐台

円錐台（えんすいだい、英: circular truncated cone）は、円を底面とした錐台である。つまり、円錐を底面に平行な平面で切り、小円錐の部分を除いた立体図形である。

プリンの形は一般的には円錐台である。受験数学、特に日本の中学入試でよく出題される図形である。

体積編集

錐体の体積公式を知っているが積分計算は知らない場合（日本の多くの小中学生はそうである）、体積を求めるには、円錐から小円錐を取り除いたと考えればよい。円錐台の上底の半径を $r 1$ , 下底の半径を $r 2$ , 高さを $h$ とすると、もとの大きな円錐の高さ $H$ は

{\frac {r_{1}}{r_{2}}}={\frac {H-h}{H}}

を満たす。これを $H$ について解くと、

H={\frac {r_{2}h}{r_{2}-r_{1}}}

となる。円錐台の体積 $V$ は

V={\frac {1}{3}}\pi r_{2}^{2}H-{\frac {1}{3}}\pi r_{1}^{2}(H-h)

であるから、先ほどの $H$ を代入して整理すると、

V={\frac {\pi h}{3}}(r_{1}^{2}+r_{1}r_{2}+r_{2}^{2})

となる。これは、上底の面積を $S 1$ , 下底の面積を $S 2$ とすると

V={\frac {h}{3}}{\Bigl (}S_{1}+{\sqrt {S_{1}S_{2}}}+S_{2}{\Bigr )}

とも表せる。

体積を求めるには、底面となる円の面積を積分してもよい。

V=\int _{0}^{h}\pi \left({\frac {r_{1}-r_{2}}{h}}x+r_{2}\right)^{2}\,dx={\frac {\pi h}{3}}(r_{1}^{2}+r_{1}r_{2}+r_{2}^{2}).

または、台形を回転させた回転体と見ることもできる。回転軸から台形の重心までの距離が

{\frac {r_{1}^{2}+r_{1}r_{2}+r_{2}^{2}}{3(r_{1}+r_{2})}}

であることに注意してパップス–ギュルダンの定理を用いると、

V=2\pi {\frac {r_{1}^{2}+r_{1}r_{2}+r_{2}^{2}}{3(r_{1}+r_{2})}}{\frac {h(r_{1}+r_{2})}{2}}={\frac {\pi h}{3}}(r_{1}^{2}+r_{1}r_{2}+r_{2}^{2})

となる。