数学において、剰余体(じょうよたい、: residue field)は可換環論における基本的な構成である。R を可換環、m極大イデアルとしたとき、剰余体は剰余環 k = R/m のことを言う(これはである)。しばしば R局所環で、このとき m はその唯一の極大イデアルである。

この構成は代数幾何学へ応用される。スキーム X の各点 xx剰余体 k(x) が関連付けられる。少し大まかに言うと、抽象代数多様体の点の剰余体は、点の座標の「自然な領域」である。

定義編集

R を極大イデアル m をもつ可換局所環とすると、剰余体は、商環 R/m である。

さて、Xスキームとし、xX の点とする。スキームの定義により、A をある可換環としてアフィン近傍 U = Spec(A) がある。近傍 U の中で考えると、点 x素イデアル pA と対応する(ザリスキー位相を参照)。x における X局所環は、定義により局所化 R = Ap であり、これは極大イデアル m = p·Ap を持つ。上の構成を適用して、点 x剰余体を得る。

k(x) := Ap / p·Ap.

この定義はアフィン近傍 U の取り方に依らないことが証明できる[1]

ある体 K に対し、k(x) ⊂ K であるときに、点 x K-有理点であると言う。

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k 上のアフィン直線 A1(k) = Spec(k[t]) を考える。k代数的閉体であれば、素イデアルにはちょうど2つの種類

  • (t − a), ak
  • (0), 零イデアル

が存在する。

剰余体は、

  •  
  •   k 上の一変数の関数体

である。

k が代数的閉体でなければ、さらに種類が発生する。例えば、k = R であれば、素イデアル (x2 + 1) は C と同型な剰余体を持つ。

性質編集

  • k 上の局所有限型英語版のスキームに対し、点 x が閉であることと、k(x) が基礎体 k の有限次拡大であることとは同値である。これはヒルベルトの零点定理の幾何学的定式化である。上記の例では、1種類目の点は閉で、剰余体 k を持ち、2種類目の点は生成点英語版で、k超越次数 1 である。
  • K をある体として、射 Spec(K) → X は、点 xX体拡大 K/k(x) を与えることと同じである。
  • 体上の有限型のスキームのクルル次元は、生成点の剰余体の超越次数に等しい。

脚注編集

  1. ^ 直感的には、点の剰余体は局所不変量である。スキームの公理は、点の様々なアフィン開近傍の間の整合性を保証するように設定されている。したがってステートメントを得る。

参考文献編集

  • Hartshorne, Robin (1977), Algebraic Geometry, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90244-9, MR0463157 , section II.2