半整数

半整数（はんせいすう、英: half-integer）とは有理数で、 $n$ を整数としたとき $n + 1/2$ の形で表される数のことである。十進法の小数で表すと、小数点以下一桁の有限小数で小数第一位が 5 である。

例としては $3.5$ 、 $-{\frac {9}{2}}$ 、 $4{\frac {1}{2}}$ などがある。

ごくまれに半奇整数 (half-odd-integer) と呼ばれることもある。

一般形編集

全ての半整数の集合は以下の形で表される。

\left\{\left.n+{1 \over 2}\right|n\in \mathbb {Z} \right\}

ここで $\mathbb {Z}$ は整数全体の集合である。

半整数を 2 倍すると奇数になり、4 倍すると単偶数になる。
整数は加法、減法、乗法について閉じているのに対し、半整数は四則演算のいずれについても閉じていないばかりか、半整数同士の和、差、積、商はいずれも半整数となることはない。
z が半整数のとき、ガンマ関数 $Γ(z)$ の値は $\sqrt π$ の有理数倍になる。以下に例を示す。

{\begin{aligned}\Gamma \left(-{\frac {1}{2}}\right)&=-2{\sqrt {\pi }}\\\Gamma \left({\frac {1}{2}}\right)&={\sqrt {\pi }}\\\Gamma \left({\frac {3}{2}}\right)&={\frac {\sqrt {\pi }}{2}}\\\Gamma \left({\frac {5}{2}}\right)&={\frac {3{\sqrt {\pi }}}{4}}\end{aligned}}